Question

已知△ABC，∠BAC=45°，以AB、AC为边在△ABC外作等腰△ABD和△ACE，AD=AB、AE=AC，且∠BAD=∠CAE，连CD、BE交于F，连AF。

（1）①如图1，若∠BAD=60°，则∠AFE= 度；

②如图2，若∠BAD=90°，则∠AFE= 度；

（2）如图3，若∠BAD=a°，猜想∠AFE的度数（用a表示），并予以证明。

Answer 1

（1）60，45．（2）∠AFE=90°-α°．

【解析】

试题分析：过点A作AM⊥CD于M，作AN⊥BE于N，求出∠DAC=∠BAE，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADC全等，根据全等三角形对应边上的高相等可得AM=AN，全等三角形对应角相等可得∠ABE=∠ADC，再求出∠DAM=∠BAN，然后求出∠MAN=∠BAD，利用“HL”证明Rt△AMF和Rt△ANF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠MAF=∠NAF，再根据直角三角形两锐角互余求出∠AFE，然后代入数据计算即可得解．

试题解析：如图，过点A作AM⊥CD于M，作AN⊥BE于N，

∵∠BAD=∠CAE，

∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，

即∠DAC=∠BAE，

在△ABE和△ADC中，

，

∴△ABE≌△ADC（SAS），

∴AM=AN，∠ABE=∠ADC，

∴∠DAM=∠BAN，

∴∠MAN=∠BAE+∠BAD-∠DAM-∠EAN，

=∠BAE+∠BAD-∠BAN-∠EAN，

=∠BAE+∠BAD-∠BAE，

=∠BAD，

在Rt△AMF和Rt△ANF中，

，

∴Rt△AMF≌Rt△ANF（HL），

∴∠MAF=∠NAF=∠BAD，

在Rt△AEN中，∠AFE=90°-∠NAF=90°-∠BAD，

（1）①若∠BAD=60°，则∠AFE=90°-×60°=60°；

②若∠BAD=90°，则∠AFE=90°-×90°=45°；

（2）若∠BAD=a°，则∠AFE=90°-α°．

考点：1.全等三角形的判定与性质；2.等腰三角形的性质．