Question

在平面直角坐标系中，动点P到点S（1，），与过T点（0，）且平行于x轴的直线距离相等，设点P的坐标为（x，y）
（1）试求出y与x函数关系式；
（2）设点P运动到x轴上时为点A、B（点A在点B的左边），运动到最高点为点C；运动到y轴上时为点D；求出A、B、C、D四点的坐标；
（3）在（2）的条件下，M为线段OB（点O为坐标原点）上的一个动点，过x轴上一点G（-2，0）作DM的垂线，垂足为H，直线GH交y轴于点N，当M点在线段OB上运动时，现给出两个结论：①∠GNM=∠CDM；②∠MGN=∠DCM，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪个结论正确，并证明．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意画出图形，再利用勾股定理建立关系式即得问题答案．
（2）由图形可知点P运动到x轴上时为点A（-1-，0），B（-1+，0）运动到最高点为点C（1，3）；运动到y轴上时为D（0，2）．
（3）①的结论是正确的；由于OG=OD=2，且GH⊥DM，则可证得△NGO≌△MDO，由此可得∠GNO=∠DMO；而ON=OM（全等三角形的对应边），故∠ONM=45；过D作DT⊥CP于T，根据C、D的坐标可知CT=DT=1，即∠CDT=45°，而∠TDM、∠DMO是平行线DT、AB的内错角，故∠TDM=∠DMO=∠GNO，因此∠TDM、∠GNO都加上45°后仍然相等，即∠GNM=∠CDM．
解答：解：（1）过点S作SD⊥ox，并反向延长SD交过T点的直线于B点，过点P作PA⊥AT，PC⊥BS．
∴CS=y-，CP=x-1，AP=．
∴在Rt△SCP中SP=．
又∵SP=AP
=，
∴y=-x²+2x+2；

（2）令y=0得0=-x²+2x+2．
解得x₁=（-1-，x₂=（-1+）．
∴A（-1-，0）B（-1+，0）．
把y=-x²+2x+2配方得：y=-（x-1）²+3，
∴C点的坐标为（1，3），
令x=0，y=2，
∴D点的坐标为D（0，2）．
∴A（1-，0），B（1+，0），C（1，3），D（0，2）；

（3）∠GNM=∠CDM是正确的．
证明：∵过A、B、C的抛物线解析式为y=-x²+2x+2；
∴D（0，2），
∵G（-2，0），
∴OG=OD，
由题意∠GON=∠DOM=90°，
又∵∠GNO=∠DNH，
∴∠NGO=∠MDO，
∴△NGO≌△MDO，
∴∠GNO=∠DMO，OM=ON，
∴∠ONM=∠NMO=45°，
过点D作DT⊥CP于T；
∴DT=CT=1，
∴∠CDT=∠DCT=45°，
由题意可知DT∥AB，
∴∠TDM=∠DMO，
∴∠TDM+45°=∠DMO+45°=∠GNO+45°，
∴∠TDM+∠CDT=∠GNO+∠ONM，
即：∠GNM=∠CDM．
点评：此题考查了勾股定理，函数解析式的确定、全等三角形及等腰直角三角形的判定和性质等知识，综合性强，难度较大．