题目内容
【题目】探究题：
（1）问题发现：如图1，
和
均为等边三角形，点
、
、
在同一直线上，连接
.填空：①
的度数为______（直接写出结论，不用证明）.
②线段
、之间的数量关系是______（直接写出结论，不用证明）.
（2）拓展探究：如图2，和均为等腰直角三角形，
，点、、在同一直线上，
为中
边上的高，连接.请判断的度数及线段、
、之间的数量关系，并说明理由.
（3）解决问题：在（2）问的条件下，若
，
，试求
的面积（用
，
表示）.
【答案】（1）①
；②
；（2）
，
， 理由见解析； （3）
.
【解析】
（1）由条件易证△ACD≌△BCE，从而得到：AD＝BE，∠ADC＝∠BEC．由点A，D，E在同一直线上可求出∠ADC，从而可以求出∠AEB的度数；
（2）仿照（1）中的解法可求出∠AEB的度数，证出AD＝BE；由△DCE为等腰直角三角形及CM为△DCE中DE边上的高可得CM＝DM＝ME，从而证到AE＝2CH＋BE；
（3）由（2）知，BE＝AD＝x＋y，AE＝BE＋2CM＝x＋y＋2（xy）＝3xy，根据三角形的面积公式即可得到结论．
解：（1）∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°．
∴∠ACD＝∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴∠ADC＝∠BEC．
∵△DCE为等边三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝60°．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC＝120°．
∴∠BEC＝120°．
∴∠AEB＝∠BEC∠CED＝60°．
②∵△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE．
故答案为①.②.
（2）猜想：①，②.
理由如下：如图，
∵
和
均为等腰直角三角形，
∴
，
，
.
∴
.
在
和
中，
，
∴
，
∴，
.
∵为等腰直角三角形，
∴
.
∵点
，
，
在同一直线上，
∴
，
∴
.
∴
.
∵，
，
∴
.
∵
，
∴
，
∴
.
（3）由（2）知，
，
，
∴
.
