Question

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A为第二象限内一点，且AO=5

5

，cosα=

2 5

5

．
（1）求点A的坐标；
（2）在x轴上，是否存在一点P，使得cos∠APO=

12

13

？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）过A作AD垂直于x轴于D，根据三角函数的知识，分别求出OD=10，AD=5．从而求得A点坐标；
（2）分①P点在D点左侧，②P点在D点右侧两种情况，根据勾股定理求出PD，AP的长度，得到P点坐标．

解答：解：（1）过A作AD垂直于x轴于D
在Rt△ADO中，∵AO=5

5

，cosα=

2 5

5

∴

OD

AO

=

2 5

5

∴OD=10，AD=5．（1分）
∴A点坐标为（-10，5）（2分）

（2）存在点P，使得cos∠APO=

12

13

当P点在D点左侧时，
在Rt△APD中，
∵AD=5，cos∠APO=

12

13

设PD=12k，AP=13k
∵PD²+AD²=AP²
∴k=1∴PD=12，AP=13
∴P点坐标为（-22，0）（4分）
当P点在D点右侧时，
同理有PD=12，AP=13
∴P点坐标为（2，0）（5分）
∴点P坐标为（-22，0）或（2，0）．（6分）

点评：本题考查了在平面直角坐标系中解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．同时考查了勾股定理．