题目内容
19．
如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D为AC中点，M为线段AB上一动点（M不与A、B重合），过点M作BC的平行线交BD于点N，以MN为对角线作正方形MPNQ，设MN的长为m．（1）用含m的代数式表示正方形MPNQ的面积；
（2）当点Q落在AC上时，求m的值；
（3）设正方形MPNQ与△ACB重叠部分的面积为S，求S与m之间的函数关系式；
（4）当点P到BC的距离与点N到AC的距离相等时，求m的值．
分析 （1）根据正方形的面积等于对角线乘积的一半即可解决问题．
（2）如图1中，由NH∥BC，推出$\frac{NH}{BC}$=$\frac{DH}{CD}$，得到$\frac{NH}{DH}$=$\frac{BC}{CD}$=2，即DH=$\frac{1}{2}$NH=$\frac{1}{4}$m，根据HM=AH，列出方程即可解决问题．
（3）分三种情形讨论即可，①当0＜m≤2时，S=$\frac{1}{2}$m2．②当2＜m≤$\frac{8}{3}$时，如图3中，重叠部分是五边形MPEFQ，③当$\frac{8}{3}$＜m＜4时，如图4中，重叠部分是△MEA，分别求出面积即可．
（4）根据条件列出方程即可解决问题．
解答 解：（1）∵四边形MPNA是正方形，
∴S正方形ABCD=$\frac{1}{2}$•MN2=$\frac{{m}^{2}}{2}$．
（2）如图1中，
∵NH∥BC，
∴$\frac{NH}{BC}$=$\frac{DH}{CD}$，
∴$\frac{NH}{DH}$=$\frac{BC}{CD}$=2，
∴DH=$\frac{1}{2}$NH=$\frac{1}{4}$m，
∵HM=AH，
∴$\frac{1}{2}$m=2-$\frac{1}{4}$m，
∴m=$\frac{8}{3}$．
（3）如图2中，
当D与N重合时，DM=AD=2，m=2，
∴当0＜m≤2时，S=$\frac{1}{2}$m2．
当2＜m≤$\frac{8}{3}$时，如图3中，重叠部分是五边形MPEFQ，
设NH=x，则DH=$\frac{1}{2}$x．
∵HM=HA，
∴m-x=2-$\frac{1}{2}$x，
∴x=2m-4，
∴S=$\frac{1}{2}$m2-$\frac{1}{2}$•2（2m-4）•（2m-4）=（2m-4）2，
当$\frac{8}{3}$＜m＜4时，如图4中，
∵NH=2m-4，
∴MH=m-（2m-4）=4-m，
∴S=$\frac{1}{2}$×2（4-m）•（4-m）=（4-m）2．
综上所述S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{m}^{2}}&{（0＜m≤2）}\\{（2m-4）^{2}}&{（2＜m≤\frac{8}{3}）}\\{（4-m）^{2}}&{（\frac{8}{3}＜m＜4）}\end{array}\right.$．
（4）由题意可知：4-$\frac{1}{2}$m-（4-m）=4-2m 或4-$\frac{1}{2}$m-（4-m）=2m-4，
解得m=$\frac{8}{5}$或$\frac{8}{3}$．
点评 本题考查四边形综合题、等腰直角三角形的性质、正方形的性质等知识，解题的关键是学会分类讨论，学会画好图形解决问题，把问题转化为方程去思考，属于中考压轴题．
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