Question

如图1，两个同样大小的肥皂泡粘在一起，其剖面如图所示．（点O、O′是圆心），分割两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP，NP分别为两圆的切线．
（1）求∠TPN的大小．
（2）如图2，延长NP交⊙O于点A，PQ=2

3

，PQ交OO′于点B．试证明：点A、O、O′三点在同一直线上，并求出图中阴影部分的面积．
（3）如图3，建立平面直角坐标系，试求过点A，P，O′三点的抛物线的解析式？

Answer 1

分析：（1）由于⊙O和⊙O′是同样的圆，易知PO=OO′=PO′，从而可知△POO′是一个等边三角形，那么∠OPO′=60°，而PT、PN是切线，可知∠TPO=90°，∠NPO=90°，从而易求∠TPN；
（2）由于PN是切线，可知∠APO′=90°，那么AO′是直径，故可证A、O、O′三点共线，利用相交两圆的性质定理可知PQ和OO′互相垂直平分，易求BP，∠BPO=30°，利用特殊三角函数值可求OB、O′B，进而可求OP，OA，利用三角形、扇形面积公式可求S_△APO′以及S_扇形O′PO，从而易求S_阴影；
（3）根据坐标系可得A、P、O′的坐标，设所求函数解析式是为y=ax²+bx+c，把三点的值代入，可得关于a、b、c的三元一次方程组，解即可．

解答：解：（1）∵PO=OO′=PO′，
∴△POO′是一个等边三角形，
∴∠OPO′=60°，
又∵TP、NP分别为两圆的切线，
∴∠TPO=90°，∠NPO=90°，
∴∠TPN=360°-2×90°-60°=120°；

（2）∵∠NPO′=90°，
∴∠APO′=90°，
∴AO′是⊙O的直径，
∴A、O、O′三点共线，
根据圆的轴对称性，该图是一个轴对称图形且直线PQ是它的一条对称轴，
∴PQ与OO′互相垂直平分，
∴PB=

3

，∠OPB=30°，
∴OB=BO′=tan30°×BP=1，PO=2=PO′，
∴AO′=4，
∴S_△APO′=

1

2

AO′•PB=

1

2

×4×

3

=2

3

，
∴S_扇形OO′P=

1

6

π•22=

2

3

π，
∴S_阴影=S_△APO′-S_扇形OO′P=2

3

-

2

3

π；

（3）∵A（-3，0），P（0，

3

），O′（1，0），
设过A，P，O′三点的函数关系式为y=ax²+bx+c，
则有

9a-3b+c=0 c= 3 a+b+c=0

，
∴

9a-3b=- 3 a+b=- 3

，
解这个方程组得，

a=- 3 3 b=- 2 3 3 c= 3

，
所以抛物线的解析式为y=-

3

3

x2-

2 3

3

x+

3

．

点评：本题考查了等边三角形的判定和性质、三点共线的证明、三角形面积的计算、相交两圆的性质定理、扇形面积是计算、用待定系数法求函数解析式．解题的关键是两个同圆相交，分别过圆心，易得等边三角形，并且知道相交两等圆的公共弦与圆心线垂直平分．