Question

如图，在第一象限内作射线OC，与x轴的夹角为30°，在射线OC上取一点A，过点A作AH⊥x轴于点H，得到△AOH．在抛物线y=x²（x＞0）上取点P，在y轴上取点Q，使得以P，O，Q为顶点的三角形△POQ与△AOH全等，则符合条件的△AOH的面积是

3

2

3

，2

3

，

1

18

3

，

2

9

3

．

Answer 1

分析：由于两三角形的对应边不能确定，故应分四种情况进行讨论：
①∠POQ=∠OAH=60°，此时A、P重合，可联立直线OA和抛物线的解析式，即可得A点坐标，由三角形的面积公式即可得出结论；
②∠POQ=∠AOH=30°，此时∠POH=60°，即直线OP：y=

3

x，联立抛物线的解析式可得P点坐标，进而可求出OQ、PQ的长，由于△POQ≌△AOH，那么OH=OQ、AH=PQ，由此得到点A的坐标，由三角形的面积公式即可得出结论；
③当∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=30°时，此时△QOP≌△AOH，得到点A的坐标，由三角形的面积公式即可得出结论；
④当∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=60°，此时△OQP≌△AOH，得到点A的坐标，由三角形的面积公式即可得出结论．

解答：解：①如图1，当∠POQ=∠OAH=60°，若以P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，那么A、P重合；
∵∠AOH=30°，
∴直线OA：y=

3

3

x，联立抛物线的解析式，
∴

y= 3 3 x y=x2

，
解得

x=0 y=0

或

x= 3 3 y= 1 3

故A（

3

3

，

1

3

），
∴S_△AOH=

1

2

×

3

3

×

1

3

=

3

18

；
②当∠POQ=∠AOH=30°，此时△POQ≌△AOH；
易知∠POH=60°，则直线OP：y=

3

x，联立抛物线的解析式，
得

y= 3 x y=x2

，解得

x=0 y=0

或

x= 3 y=3

，
∴P（

3

，3），A（3，

3

）
∴S_△AOH=

1

2

×3×

3

=

3 3

2

；
③如图3，当∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=30°时，此时△QOP≌△AOH；
易知∠POH=60°，则直线OP：y=

3

x，联立抛物线的解析式，
得，

y= 3 x y=x2

，解得

x=0 y=0

或

x= 3 y=3

，
∴P（

3

，3），
∴OP=2

3

，QP=2，
∴OH=OP=2

3

，AH=QP=2，
∴A（2

3

，2），
∴S_△AOH=

1

2

×2

3

×2=2

3

；
④如图4，当∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=60°，此时△OQP≌△AOH；
此时直线OP：y=

3

3

x，联立抛物线的解析式，
得

y= 3 3 x y=x2

，解得

x=0 y=0

或

x= 3 3 y= 1 3

，
∴P（

3

3

，

1

3

），
∴QP=

2 3

3

，OP=

2

3

，
∴OH=QP，QP=

2 3

3

，AH=OP=

2

3

，
∴A（

2 3

3

，

2

3

），
∴S_△AOH=

1

2

×

2 3

3

×

2

3

=

2 3

9

．
综上所述，△AOH的面积为：

3

2

3

，2

3

，

1

18

3

，

2

9

3

．
故答案为：

3

2

3

，2

3

，

1

18

3

，

2

9

3

．

点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到全等三角形的判定和性质以及函数图象交点坐标的求法，解答此题时一定要注意进行分类讨论．