Question

如图，在第一象限内作射线OC，与x轴的夹角为30°，在射线OC上取点A，过点A作AH⊥x轴于点H．在抛物线y=x²（x＞0）上取点P，在y轴上取点Q，使得以P，O，Q为顶点，且以点Q为直角顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点A的坐标是

（3，

3

），（

1

3

3

，

1

3

）

．

Answer 1

分析：由于AH的长度没有确定，所以只要以点Q为直角顶点的三角形与△AOH相似，那么两者就有可能全等；当点Q为直角顶点时，若∠POQ=30°或∠POQ=60°时，都符合解题要求，那么可根据∠POx的度数求出直线OP的解析式，然后联立抛物线的解析式即可得点P的坐标．

解答：解：在Rt△AOH中，∠AOH=30°；
由题意，可知：当∠POQ=30°或∠POQ=60°时，以点Q为直角顶点的△POQ与△AOH全等，
故∠POx=60°或∠POx=30°；
①当∠POx=60°时，k_OP=tan60°=

3

，所以，直线OP：y=

3

x，联立抛物线的解析式，有：

y= 3 x y=x2

，
解得

x1=0 y1=0

，

x2= 3 y2=3

，
即：P₁（

3

，3）；
②当∠POx=30°时，k_OP=tan30°=

3

3

，所以，直线OP：y=

3

3

x，联立抛物线的解析式，有：

y= 3 3 x y=x2

，
解得

x1=0 y1=0

，

x2= 3 3 y2= 1 3

，
即：P₂（

3

3

，

1

3

）．
故答案：（3，

3

），（

1

3

3

，

1

3

）．

点评：此题的难度并不大，抓住两个关键条件：①点Q为直角顶点，②以P、O、Q为顶点的三角形与△AOH全等；由于题目没有明确告知AH的长，所以只要两者相似即可视作全等，这也为解题带来了很大的便利．