Question

如图，在梯形ABCD中，AD=DC，AB=DC，∠D=120°，对角线CA平分∠BCD，且梯形的周长为20，则AC=

4

3

，梯形ABCD的面积为

12

3

．

Answer 1

分析：由已知可得梯形ABCD是等腰梯形，根据等腰梯形的性质及已知可求得AB的长，从而不难求得AC的长，再过点A作AE⊥BC于点E，从而可求得AE的长，根据梯形面积公式不难求得其面积．

解答：解：∵在梯形ABCD中，AB=DC
∴梯形ABCD是等腰梯形
∴∠D+∠DCB=180°
∵∠D=120°
∴∠B=∠DCB=60°
∵对角线CA平分∠BCD
∴∠ACB=30°
∵AD=DC
∴∠DAC=∠ACD=30°
∴∠BAC=90°
∴BC=2AB
∵梯形的周长=AD+DC+BC+AB=5AB=20
∴AB=4
∴AC=4

3

，BC=8
过点A作AE⊥BC于点E
∵AB=4，AC=4

3

，BC=8
∴AE=2

3

∴梯形ABCD的面积=（4+8）×2

3

×

1

2

=12

3

．
故答案为：4

3

，12

3

．

点评：此题主要考查学生对等腰梯形的性质及勾股定理的综合运用能力，关键是弄清各边之间的关系，从而根据周长求得各边的长．