Question

【题目】如图，直线AB表达式为y＝﹣2x+2，交x轴于点A，交y轴于点B．若y轴负半轴上有一点C，且CO＝AO．

（1）求点C的坐标和直线AC的表达式；

（2）在直线AC上是否存在点D，使以点A、B、D为顶点的三角形与△ABO相似？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）C（0，﹣），直线AC的解析式为y＝x﹣；（2）存在，点D的坐标为（0，﹣）或（2，）或（﹣3，﹣2）或（5，2）．

【解析】

（1）利用待定系数法求出A，B的坐标，再求出点C的坐标即可解决问题．
（2）首先证明∠BAC=90°，推出△BAC∽△BOA.如图，分四种情况求解：当点D1与C重合时，以点A、B、D为顶点的三角形与△ABO相似，此时D1（0，-）；根据对称性可知当AD1=AD3时，△ABD3与△AOB相似，此时D3（2，）；当△BAD2∽△AOB时，＝，求出AD2的长，设D2（m，m-），列出方程求出m即可解决问题．

解：（1）对于直线y＝﹣2x+2，令x＝0，得到y＝2，令y＝0，得到x＝1，

∴A（1，0），B（0，2），

∴OA＝1，OB＝2，

∵OC＝OA＝，

∴C（0，﹣），

设直线AC的解析式为y＝kx+b，

则有，解得，

∴直线AC的解析式为y＝x﹣．

（2）如图，

由（1）可知，A（1，0），B（0，2），C（0，﹣），

∴AB＝＝，AC＝＝，BC＝，

∴BC2＝AB2+AC2，

∴∠BAC＝90°，

∵∠ABO＝∠ABC，∠AOB＝∠BAC＝90°，

∴△BAC∽△BOA，

∴当点D1与C重合时，以点A、B、D为顶点的三角形与△ABO相似，此时D1（0，﹣）；

根据对称性可知当AD1＝AD3时，△ABD3与△AOB相似，此时D3（2，）．

当△BAD2∽△AOB时，＝，∴＝，∴AD2＝2，

设D2（m，m﹣），则有（m﹣1）2+（m﹣）2＝20，解得m＝﹣3或5，

∴D2（﹣3，﹣2），D4（5，2），

综上所述，满足条件的点D的坐标为（0，﹣）或（2，）或（﹣3，﹣2）或（5，2）．