Question

如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC，BD是⊙O的直径，AD与BC交于点E，F在DA的延长线上，且BF=BE． 
（1）试判断BF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BF=6，∠C=30°，求阴影的面积．

Answer 1

分析：（1）根据等腰三角形性质求出∠FBA=∠EBA=∠C，推出∠D=∠C=∠FBA，根据∠DAB=90°推出∠D+∠DBA=90°，求出∠ABD+∠FBA=90°，根据切线的判定推出即可．
（2）连接OA，求出∠BOA=60°，求出AB长，求出BD、AD，求出OB，根据三角形的面积求出△ABD面积，即可求出△BAO面积，求出扇形BOA面积，即可求出答案．

解答：（1）解：BF与⊙O的位置关系是相切，
理由是：∵∠D和∠C都对弧AB，
∴∠C=∠D，
∵BD是直径，
∴∠DAB=90°，
∴∠D+∠ABD=90°，
∴∠C+∠ABD=90°，
∵∠DAB=90°，
∴BA⊥EF，
∵BE=BF，
∴∠EBA=∠FBA，
∵AB=AC，
∴∠C=∠EBA=∠FBA，
∵∠C+∠ABD=90°（已证），
∴∠FBA+∠ABD=90°，
∴∠FBD=90°，
∵OB是半径，
∴BF是⊙O的切线，
即BF与⊙O的位置关系是相切；
（2）解：连接OA，
∵∠C=∠D=30°=∠FBA，
∴在Rt△ABF中，BF=6，AF=

1

2

BF=3，
由勾股定理得AB=3

3

，
在Rt△DBA中，∠D=30°，
∴BD=2AB=6

3

，OB=3

3

，∠BOA=2∠C=60°，
∵在Rt△ABD中，BD=6

3

，AB=3

3

，由勾股定理得：AD=9，
又∵BO=OD，
∴根据等底同高的三角形的面积相等得出S_△BOA=S_△AOD=

1

2

S_△ABD=

1

2

×

1

2

×3

3

×9=

27 3

4

，
∠BOA=2∠C=60°，
∴S_阴影=S_扇形OBA-S_△OAB=

60π×(3 3 )2

360

-

27 3

4

=

9π

2

-

27 3

4

．

点评：本题考查了三角形面积，等腰三角形性质，勾股定理，扇形面积，圆周角定理等知识点的综合运用．