Question

如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，BE⊥EF
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）在（1）的结论下，若AB=6，AE=9，F为DC的中点，求EF的长．

Answer 1

分析：（1）由在矩形ABCD中，BE⊥EF，易证得∠A=∠D=90°，∠ABE=∠DEF，则可证得△ABE∽△DEF；
（2）由AB=6，AE=9，根据勾股定理即可得BE，又由△ABE∽△DEF，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得EF的长．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠AEB+∠ABE=90°，
∵BE⊥EF，
∴∠AEB+∠DEF=90°，
∴∠ABE=∠DEF，
∴△ABE∽△DEF；

（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=6，
∵F为DC的中点，
∴DF=

1

2

CD=3，
在Rt△ABE中，BE=

AB2+AE2

=

62+92

=3

13

，
∵△ABE∽△DEF，
∴

AE

DF

=

BE

EF

，
即

9

3

=

3 13

EF

，
∴EF=

13

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．