Question

已知：三点A（a，1）、B（3，1）、C（6，0），点A在正比例函数y=

1

2

x的图象上．
（1）求a的值；
（2）点P为x轴上一动点．当△OAP与△CBP周长的和取得最小值时，求点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）由点A（a，1）在正比例函数y=

1

2

x的图象上，即可得方程

1

2

a=1，则可求得a的值；
（2）首先由题意可得当AP+BP最小时，△OAP与△CBP周长的和取得最小值，然后过点A作关于x轴的对称点A′，连接A′B，则A′B与x轴的交点即为所求的点P，再设直线A′B的解析式为：y=kx+b，利用待定系数法即可求得其解析式，继而求得点P的坐标．

解答：解：（1）∵点A（a，1）在正比例函数y=

1

2

x的图象上，
∴

1

2

a=1，
解得：a=2；

（2）如图：∵A（2，1）、B（3，1）、C（6，0），
∴OA，BC是定长，
∵OP+PC=OC=6，
∵△OAP与△CBP周长的和为：OA+AP+OP+PC+BC+BP=OA+BC+OC+AP+BP，
∴当AP+BP最小时，△OAP与△CBP周长的和取得最小值，
过点A作关于x轴的对称点A′，连接A′B，则A′B与x轴的交点即为所求的点P，
∴A′（2，-1），
设直线A′B的解析式为：y=kx+b，
∴

2k+b=-1 3k+b=1

，
解得：

k=2 b=-5

，
∴直线A′B的解析式为：y=2x-5，
当y=0时，2x-5=0，
解得：x=

5

2

；
∴当△OAP与△CBP周长的和取得最小值时，点P的坐标为：（

5

2

，0）．

点评：此题是一次函数的综合题，考查了待定系数求一次函数解析式、点与函数的关系以及最短路径问题．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．