Question

9．如图，在△ABC中，BC=8cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC．
（1）求△PDE的周长；
（2）若∠A=50°，求∠BPC的度数．

Answer 1

分析 （1）分别利用角平分线的性质和平行线的判定，求得△DBP和△ECP为等腰三角形，由等腰三角形的性质得BD=PD，CE=PE，那么△PDE的周长就转化为BC边的长，即为8cm．
（2）根据三角形内角和定理和角平分线的性质即可求得．

解答 解：（1）∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠ABP=∠PBD，∠ACP=∠PCE，
∵PD∥AB，PE∥AC，
∴∠ABP=∠BPD，∠ACP=∠CPE，
∴∠PBD=∠BPD，∠PCE=∠CPE，
∴BD=PD，CE=PE，
∴△PDE的周长=PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=8cm．
（2）∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=130°，
∴$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠ACB=65°，
∵∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠PCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB=65°，
∴∠BPC=180°-65°=115°．

点评 此题主要考查了平行线的判定，内角和定理，角平分线的性质及等腰三角形的性质等知识点．本题的关键是将△PDE的周长就转化为BC边的长．