Question

已知：如图，在四边形ABCD中，点G在边BC的延长线上，CE平分∠BCD，CF平分∠GCD，EF∥BC交CD于点O．


（1）求证：OE=OF；
（2）若点O为CD的中点，求证：四边形DECF是矩形．

Answer 1

证明：（1）∵CE平分∠BCD、CF平分∠GCD，
∴∠BCE=∠DCE，∠DCF=∠GCF，（1分）
∵EF∥BC，
∴∠BCE=∠FEC，∠EFC=∠GCF，（1分）
∴∠DCE=∠FEC，∠EFC=∠DCF，（1分）
∴OE=OC，OF=OC，
∴OE=OF；（2分）

（2）∵点O为CD的中点，
∴OD=OC，
又OE=OF，
∴四边形DECF是平行四边形，（2分）
∵CE平分∠BCD、CF平分∠GCD，
∴∠DCE=

1

2

∠BCD，∠DCF=

1

2

∠DCG，（2分）
∴∠DCE+∠DCF=

1

2

(∠BCD+

1

2

∠DCG)=90°，（2分）
即∠ECF=90°，
∴四边形DECF是矩形．（1分）