Question

【题目】问题：如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC边的中点，连结AE，点F是线段AE上一点，连结BF并延长，交射线CD于点G．若AF：EF＝4：1，求的值．

（1）尝试探究：

如图1，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是．CG和EH的数量关系是，因此＝　 　．

（2）类比延伸：

在原题的条件下，若把“AF：EF＝4：1”改为“AF：EF＝n：1”（n＞0），求的值．（用含有n的式子表示）

（3）拓展迁移：

如图2，在四边形ABCD中，CD∥AB，点E是BC的延长线上的一点，AE与BD相交于点F．若AB：CD＝a：1（a＞0），BC：BE＝b：1（b＞0），则＝　 　．（直接用含有a、b的式子表示，不写解答过程）

Answer 1

【答案】（1）2；（2）；（3）ab．

【解析】

（1）本问体现“特殊”的情形，＝4是一个确定的数值．根据平行线构造相似三角形，利用相似三角形性质，分别将各相关线段均统一用EH来表示，最后求得比值；

（2）本问体现“一般”的情形，＝n不再是一个确定的数值，但（1）问中的解题方法依然适用，如答图2所示．

（3）本问体现“类比”与“转化”的情形，将（1）（2）问中的解题方法推广转化到梯形中，过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H，则有EH∥AB∥CD，根据平行线构造相似三角形，利用相似三角形性质，分别将各相关线段均统一用EH来表示，最后求得比值，如答图3所示．

解：（1）∵EH∥AB

∴△ABF∽△EHF，

∴＝＝4，

∴AB＝4EH．

∵平行四边形ABCD中，EH∥AB，

∴EH∥CD，

∴△BEH∽△BCG．

∴＝＝2，

∴CG＝2EH．

∴＝＝＝2．

故答案为：2．

（2）如图2所示，作EH∥AB交BG于点H，

则△EFH∽△AFB．

∴＝＝n，

∴AB＝nEH．

∵AB＝CD，

∴CD＝nEH．

∵EH∥AB∥CD，

∴△BEH∽△BCG．

∴＝＝2，

∴CG＝2EH．

∴＝＝．

（3）如图3所示，过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H，则有EH∥AB∥CD．

∵EH∥CD，

∴△BCD∽△BEH，

∴＝＝b，

∴CD＝bEH．

又＝a，

∴AB＝aCD＝abEH．

∵EH∥AB，

∴△ABF∽△EHF，

∴＝＝＝ab，

故答案为：ab．