Question

如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC，OE⊥BC，OE＝BC．

(1)求∠BAC的度数．

(2)将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H．求证：四边形AFHG是正方形．

(3)若BD＝6，CD＝4，求AD的长．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：连结OB和OC． 　　∵OE⊥BC，∴BE＝CE． 　　∵OE＝BC，∴∠BOC＝90°，∴∠BAC＝45°．　　(2分) 　　(2)证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°． 　　由折叠可知，AG＝AF＝AD，∠AGH＝∠AFH＝90°， 　　∠BAG＝∠BAD，∠CAF＝∠CAD，　　(3分) 　　∴∠BAG＋∠CAF＝∠BAD＋∠CAD＝∠BAC＝45°． 　　∴∠GAF＝∠BAG＋∠CAF＋∠BAC＝90°． 　　∴四边形AFHG是正方形．　　(5分) 　　(3)解：由(2)得，∠BHC＝90°，GH＝HF＝AD，GB＝BD＝6，CF＝CD＝4． 　　设AD的长为x，则BH＝GH－GB＝x－6，CH＝HF－CF＝x－4．　　(7分) 　　在Rt△BCH中，BH2＋CH2＝BC2，∴(x－6)2＋(x－4)2＝102． 　　解得，x1＝12，x2＝－2(不合题意，舍去)． 　　∴AD＝12．　　(8分)