Question

（2013•萝岗区一模）如图1，四边形ABHC，ADEF都是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．
（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G，设BG交AC于点M．
①求证：BD⊥CF；
②当AB=4，AD=

2

时，求线段BG的长．

Answer 1

分析：（1）根据正方形性质得出AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，求出∠BAD=∠CAF，根据SAS证出B≌△FAC即可．
（2）①根据全等三角形的性质得出∠FCA=∠DBA，求出∠CMG+∠FCA=∠DBA+∠BMA=90°，求出∠CGM的度数即可．
②过点F作FN⊥AC于点N，求出FN=AN=

1

2

AE=1，AE=2，连接BC，求出CN=3，BC=4

2

，根据tan∠ABM=tan∠FCN=

1

3

求出AM=

1

3

AB=

4

3

，求出BM，求出CM，证△BMA∽△CMG，得出

BM

AB

=

CM

CG

，求出CG，根据勾股定理求出即可．

解答：解：（1）BD=CF成立，
理由是：∵四边形ABHC和四边形ADEF是正方形，
∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAF-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF，
在△DAB和△FAC中

AB=AC ∠DAB=∠FAC AD=AF

∴△DAB≌△FAC（SAS），
∴BD=CF．

（2）①证明：∵△DAB≌△FAC，
∴∠FCA=∠DBA，
∵∠CMG=∠BMA，∠CAB=90°，
∴∠CMG+∠FCA=∠DBA+∠BMA=180°-∠CAB=90°，
∴在△CGM中，∠CGM=180°-90°=90°，
∴BD⊥CF．

②解：过点F作FN⊥AC于点N，
∵在正方形ADEF中，AD=

2

=AF，∠DAB=45°，
∴∠DAC=45°，∠FAN=45°，
∵FN⊥AC，
∴∠FNA=90°，
∴∠NFA=45°=∠FAN，
∴FN=AN，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF=EF=

2

，∠EFA=90°，
∴由勾股定理得：AE=2，
∴FN=AN=1，
连接BC，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，
则CN=4-1=3，BC=

AC2+AB2

=4

2

，
即在Rt△FCN中，tan∠FCN=

FN

CN

=

1

3

，
在Rt△ABM中，tan∠ABM=tan∠FCN=

1

3

，
∴AM=

1

3

AB=

4

3

，
在Rt△BAM中，由勾股定理得：BM=

AB2+AM2

=

42+( 4 3 )2

=

4 10

3

，
CM=AC-AM=4-

4

3

=

8

3

，
∵∠CMG=∠BMA，∠FCA=∠DBA，
∴△BMA∽△CMG，
∴

BM

AB

=

CM

CG

，
∴

4 10 3

4

=

8 3

CG

，
∴CG=

4 10

5

，
在Rt△BGC中，BG=

BC2-CG2

=

8 10

5

．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力．