Question

平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，B为线段OA的中点，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交于M，点P为线段FG上一个动点(与F、G不重合)，PQ∥y轴与抛物线交于点Q。

【小题1】求经过B、E、C三点的抛物线的解析式；
【小题2】判断⊿BDC的形状，并给出证明；当P在什么位置时，以P、O、C为顶点的三角形是等腰三角形，并求出此时点P的坐标
【小题3】若抛物线的顶点为N，连接QN，探究四边形PMNQ的形状：①能否成为菱形；②能否成为等腰梯形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由。

Answer 1

【小题1】B(-1,0) E(0,4) C(4，0)  设解析式是
可得     解得  （2分） ∴
【小题2】⊿BDC是直角三角形       （1分）
∵BD²=BO²+DO²="5" , DC²=DO²+CO²="20" ,BC²=(BO+CO)²="25"
∴BD²+ DC²= BC²                 （1分）
∴⊿BDC是Rt⊿
点A坐标是（-2,0），点D坐标是（0,2）直线AD的解析式是 （1分）
设点P坐标是（x，x+2）
当OP=OC时 x²+(x+2)²="16" 解得 （不符合，舍去）此时点P（）
当PC=OC时 方程无解
当PO=PC时，点P在OC的中垂线上，∴点P横坐标是2， 得点P坐标是（2,4）
∴当⊿POC是等腰三角形时，点P坐标是（）或（2,4） （2分）
（1）  【小题3】点M坐标是（）N坐标是（）∴MN=
设点P 为（x，x+2）Q(x,-x²+3x+4),则PQ=
①若PQNM是菱形，则PQ=MN，可得x₁="0.5" x₂="1.5"
当x₂=1.5时，点P与点M重合；当x₁=0.5时，可求得PM=，所以菱形不存在（2分）
②能成为等腰梯形，此时点P的坐标是（2.5,4.5）（2分）

解析