Question

如图，△ABC的高AD为3，BC为4，直线EF∥BC，交线段AB于E，交线段AC于F，交AD于G，以EF为斜边作等腰直角三角形PEF（点P与点A在直线EF的异侧），设EF为x，△PEF与四边形BCEF重合部分的面积为y．
（1）求线段AG（用x表示）；
（2）求y与x的函数关系式，并求x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由图和已知条件知，△AEF∽△ABC从而得AG表达式，分两种情况当点P在四边形BCFE的内部或BC边上时易得PH=

1

2

x的关系；
（2）当点P在四边形BCFE的外部时，过点P作PH⊥EF易得PH=

1

2

x，从而推出△PMN∽△PEF根据比例关系推出△PMN为等腰三角形，把△PMN用x表示出来，最后根据边长关系求出x的取值范围．

解答：解：（1）∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴

EF

BC

=

AG

AD

，
∴

x

4

=

AG

3

，AG=

3

4

x．

（2）当点P在四边形BCFE的内部或BC边上时，如图1过点P作PH⊥EF于H，
∵等腰直角三角形PEF，
∴PH=

1

2

x，
∴y=

1

2

EF×PH=

1

4

x2．
∵PH≤DG，

1

2

x≤3-

3

4

x，0＜x≤

12

5

．
当点P在四边形BCFE的外部时，如图2，
过点P作PH⊥EF于H，交MN于K，同理得PH=

1

2

x，
∵EF∥BC，
∴∠KHG=∠HKD=90°，
∴四边形HGDK为矩形，
∴HK=DG=3-

3

4

x，
∴PK=

1

2

x-(3-

3

4

x)=

5

4

x-3，
∵EF∥BC，
∴△PMN∽△PEF，
∴

PM

PE

=

PN

PF

，
∴△PMN为等腰直角三角形．
∴S_△PMN=

1

2

MN×PK=PK²=(

5

4

x-3)2=

25

16

x2-

15

2

x+9，
∴y=

1

4

x2-(

25

16

x2-

15

2

x+9)=-

21

16

x2+

15

2

x-9，
∵PH＞DG，

1

2

 x＞3-

3

4

x，x＞

12

5

∴

12

5

＜x＜4．

点评：此题多次用到三角形相似的性质，这也是平面几何题通常用的方法，作辅助线找三角形相似，把几何关系用函数表示出来，并求出定义域，是很好的题型．