Question

18．已知，如图，抛物线y=ax²+2ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC=3OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；
（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据OC=3OB，B（1，0），求出C点坐标（0，-3），把点B，C的坐标代入y=ax²+2ax+c，求出a点坐标即可求出函数解析式；
（2）图，过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M，N．设M（m，-m-3）则D（m，m²+2m-3），然后求出DM的表达式，把S_{四边形ABCD}分解为S_△ABC+S_△ACD，转化为二次函数求最值；
（3）①过点C作CP₁∥x轴交抛物线于点P₁，过点P₁作P₁E₁∥AC交x轴于点E₁，此时四边形ACP₁E₁为平行四边形．平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC=PE时，四边形ACEP为平行四边形．

解答 解：（1）∵OC=3OB，B（1，0），
∴C（0，-3）．
把点B，C的坐标代入y=ax²+2ax+c，得a=1，c=-3，
∴抛物线的解析式y=x²+2x-3．

（2）由A（-3，0），C（0，-3）得直线AC的解析式为y=-x-3，
如图1，过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M，N．
设M（m，-m-3）则D（m，m²+2m-3），
DM=-m-3-（m²+2m-3）=-m²-3m=-（m+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴-1＜0，
∴当x=$-\frac{3}{2}$时，DM有最大值$\frac{9}{4}$，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD=$\frac{1}{2}$×4×3+$\frac{1}{2}$×3×DM，此时四边形ABCD面积有最大值为6+$\frac{3}{2}$×$\frac{9}{4}$=$\frac{75}{8}$．

（3）存在．
讨论：①如图2，过点C作CP₁∥x轴交抛物线于点P₁，过点P₁作P₁E₁∥AC交x轴于点E₁，
此时四边形ACP₁E₁为平行四边形．
∵C（0，-3），令-3=x²+2x-3
∴x₁=0，x₂=-2．
∴P₁（-2，-3）．
②平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC=PE时，四边形ACEP为平行四边形，
∵C（0，-3），
∴可令P（x，3），3=x²+2x-3，得x²+2x-6=0
解得x₁=-1+$\sqrt{7}$，x₂=-1-$\sqrt{7}$，
此时存在点P₂（-1+$\sqrt{7}$，3），P₃（-1-$\sqrt{7}$，3），
综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是：
P₁（-2，-3），P₂（-1+$\sqrt{7}$，3），P₃（-1-$\sqrt{7}$，3）．

点评 本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数的解析式，二次函数求最值，平行四边形的判定与性质等知识，根据题意作出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键，在解答（3）时要注意进行分类讨论．