Question

如图1，在△ABC中，AB=BC=5，AC=6，△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，连接AE，AC和BE相交于点O。

（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由；
（2）如图2，P是线段BC上一动点（图2），（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AB于点Q，QR⊥BD，垂足为点R。
①四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积；
②当线段BP的长为何值时，△PQR与△BOC相似？

Answer 1

解：（1）四边形ABCE是菱形，证明如下： ∵△ECD是由△ABC沿BC平移得到的， ∴EC∥AB，且EC=AB， ∴四边形ABCE是平行四边形， 又∵AB=BC， ∴四边形ABCE是菱形， （2）①四边形PQED的面积不发生变化，理由如下： ∵ABCE是菱形， ∴AC⊥BE，OC=AC=3， ∵BC=5， ∴BO=4， 过A作AH⊥BD于H，（如图1） ∵S△ABC=BC×AH=AC×BO，即：×5×AH=×6×4， ∴AH=， 由菱形的对称性知，△PBO≌△QEO， ∴BP=QE， ∴S四边形PQED=（QE+PD）×QR =（BP+PD）×AH=BD×AH =×10×=24； ②如图2，当点P在BC上运动，使△PQR与△COB相似时， ∵∠2是△OBP的外角， ∴∠2＞∠3， ∴∠2不与∠3对应， ∴∠2与∠1对应，即∠2=∠1， ∴OP=OC=3， 过O作OG⊥BC于G，则G为PC的中点，△OGC∽△BOC， ∴CG∶CO=CO∶BC，即：CG∶3=3∶5， ∴CG=， ∴PB=BC-PC=BC-2CG=5-2×=。