Question

如图，在同一个坐标系中，双曲线y=

k

x

与直线y=kx+b相交于A、B两点，点A的坐标为（2，1），另一个交点B的纵坐标为-4．
（1）求出这两个函数的解析式，并画出它们的图象；
（2）观察图象并回答：当x的取值在什么范围时，反比例函数值大于一次函数的值；
（3）当x取什么范围时，y=kx+b的值满足-2≤y＜1．
（4）求△AOB的面积．

Answer 1

分析：（1）把A（2，1）代入y=

k

x

求出k=2，得出反比例函数的解析式，把y=-4代入y=

2

x

求出B的坐标，把A、B的坐标代入y=kx+b得出方程组，求出方程组的解，即可得出一次函数的解析式；
（2）画出图象，根据图象和A、B的横坐标求出即可；
（3）分别把y=-2和y=1代入一次函数的解析式，即可得出答案；
（4）求出OC的值，分别求出△AOC和△BOC的面积，即可得出答案．

解答：解：（1）∵把A（2，1）代入y=

k

x

得：k=2，
∴反比例函数的解析式是y=

2

x

；
把y=-4代入y=

2

x

得：-4=

2

x

，
x=-

1

2

，
∴B（-

1

2

，-4），
把A、B的坐标代入y=kx+b得：

1=2k+b -4=- 1 2 k+b

，
解得：k=2，b=-3，
故一次函数的解析式是y=2x-3；

（2）如图：
当x＜-

1

2

或0＜x＜2时，反比例函数值大于一次函数的值；

（3）∵把y=-2代入y=2x-3得：x=

1

2

，
把y=1代入y=2x-3得：x=2，
当

1

2

≤y＜2时，y=kx+b的值满足-2≤y＜1．

（4）∵把x=0代入y=2x-3得：y=-3，
∴OC=3，
∴△AOB的面积S=S_△BOC+S_△AOC=

1

2

×3×

1

2

+

1

2

×3×2=3

3

4

．

点评：本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，三角形的面积，函数的图象和性质等知识点的综合运用．用了数形结合思想．