Question

已知，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过O点作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，作PE⊥AC与点E，射线DE交BC的延长线于点F，求证：PF是⊙O的切线．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：证明题

分析：利用圆周角定理由AC是直径得∠ABC=90°，由OD⊥AB，根据垂径定理得AD=BD，易得OD∥BC，BC=2OD，再根据“AAS”证明△OPE≌△OAD，得到OD=OE，
则PD=AE，由于OD∥CF，可判断△CEF为等腰三角形，则CE=CF，然后利用线段之间的代换得到PD=BF，于是可判断四边形PDBF为平行四边形，得到PF∥DB，所以OP⊥PF，然后根据切线的判定定理可得PF为⊙O的切线．

解答：证明：∵AC是直径，
∴∠ABC=90°，
∵OD⊥AB，
∴∠ADO=90°，AD=BD，
∴OD∥BC，BC=2OD，
∵PE⊥OA，
∴∠PEO=90°，
在△OPE和△OAD中，

∠PEO=∠ADO ∠POE=∠AOD OP=OA

，
∴△OPE≌△OAD（AAS），
∴OD=OE，
∴PD=AE，
∵OD∥CF，
∴CE=CF，
∴AC-AE=BC+BF，
AC-AE=2OD+BF
AC-AE=2（OP-PD）+BF，
∴AC-PD=2OP-2PD+BF，
∴PD=BF，
∴四边形PDBF为平行四边形，
∴PF∥DB，
∴OP⊥PF，
∴PF为⊙O的切线．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了三角形全等的判定与性质．