Question

如图，已知AB，AC分别是⊙O的直径和弦，点G为上一点，GE⊥AB，垂足为点E，交AC于点D，过点C的切线与AB的延长线交于点F，与EG的延长线交于点P，连接AG．

（1）求证：△PCD是等腰三角形；

（2）若点D为AC的中点，且∠F=30°，BF=2，求△PCD的周长和AG的长．

Answer 1

（1）证明：连结OC，如图，

∵PC为⊙O的切线，

∴OC⊥PC，

∴∠OCP=90°，即∠1+∠PCD=90°，

∵GE⊥AB，

∴∠GEA=90°，

∴∠2+∠ADE=90°，

∵OA=OC，

∴∠1=∠2，

∴∠PCD=∠ADE，

而∠ADE=∠PDC，

∴∠PCD=∠PDC，

∴△PCD是等腰三角形；

（2）解：连结OD，BG，如图，

在Rt△COF中，∠F=30°，BF=2，

∴OF=2OC，即OB+2=2OC，

而OB=OC，

∴OC=2，

∵∠FOC=90°﹣∠F=60°，

∴∠1=∠2=30°，

∴∠PCD=90°﹣∠1=60°，

∴△PCD为等边三角形，

∵D为AC的中点，

∴OD⊥AC，

∴AD=CD，

在Rt△OCD中，OD=OC=1，

CD=OD=，

∴△PCD的周长为3；

在Rt△ADE中，AD=CD=，

∴DE=AD=，

AE=DE=，

∵AB为直径，

∴∠AGB=90°，

而∠GAE=∠BAG，

∴Rt△AGE∽Rt△ABG，

∴AG：AB=AE：AG，

∴AG²=AE•AB=×4=6，

∴AG=6．