题目内容

如图，直线y=hx+d与x轴和y轴分别相交于点A（-1，0），B（0，1），与双曲线y= $数学公式$ 在第一象限相交于点C；以AC为斜边、∠CAO为内角的直角三角形，与以CO为对角线、一边在x轴上的矩形面积相等；点C，P在以B为顶点的抛物线y=mx²+nx+k上；直线y=hx+d、双曲线y= $数学公式$ 和抛物线y=ax²+bx+c同时经过两个不同的点C，D．
（1）确定t的值；
（2）确定m，n，k的值；
（3）若无论a，b，c取何值，抛物线y=ax²+bx+c都不经过点P，请确定P的坐标．

解：（1）直线过点A，B，则0=-h+d和1=d，即y=x+1．
双曲线y= $\text{[math]}$ 经过点C（x₁，y₁），x₁y₁=t．
以AC为斜边，∠CAO为内角的直角三角形的面积为 $\text{[math]}$ ×y₁×（1+x₁）；
以CO为对角线的矩形面积为x₁y₁．
$\text{[math]}$ ×y₁×（1+x₁）=x₁y₁，
因为x₁，y₁都不等于0，
故得x₁=1，
所以y₁=2．
故有， $\text{[math]}$ ，
故t=2×1=2，即t=2．

（2）∵B是抛物线y=mx²+nx+k的顶点，
∴有- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
得到n=0，k=1．
∵C是抛物线y=mx²+nx+k上的点，

∴有2=m（1）²+1，得m=1．
故m=1，n=0，k=1．

（3）设点P的横坐标为p，则纵坐标为p²+1．
∵抛物线y=ax²+bx+c经过两个不同的点C，D，
其中求得D点坐标为（-2，-1）．
解法一：
故2=a+b+c，
-1=4a-2b+c．
解之得，b=a+1，c=1-2a．
（说明：如用b表示a，c，或用c表示a，b，均可，后续参照得分）
∴y=ax²+（a+1）x+（1-2a）
于是：p²+1≠ap²+（a+1）p+（1-2a）
变形，得p²-p≠（p²+p-2）a，
∴无论a取什么值都有p²-p≠（p²+p-2）a．
（或者，令p²-p=（p²+p-2）a
∵抛物线y=ax²+bx+c不经过P点，
∴此方程无解，或有解但不合题意
故∵a≠0，
∴① $\text{[math]}$
解之p=0，p=1，并且p≠1，p≠-2．得p=0
∴符合题意的P点为（0，1）
② $\text{[math]}$ ，
解之p=1，p=-2，并且p≠0，p≠1．
得p=-2．
符合题意的P点为（-2，5）．
∴符合题意的P点有两个（0，1）和（-2，5）．
解法二：则有（a-1）p²+（a+1）p-2a=0
即〔（a-1）p+2a〕（p-1）=0
有p-1=0时，得p=1，
即C点（1，2）在y=ax²+bx+c上．
或（a-1）p+2a=0，即（p+2）a=p
当p=0时a=0与a≠0矛盾
得点P（0，1）
或者p=-2时，无解
得点P（-2，5）
故对任意a，b，c，抛物线y=ax²+bx+c都不经过（0，1）和（-2，5）
解法三：如图，抛物线y=ax²+bx+c不经过直线CD上除C，D外的其他点；
（只经过直线CD上的C，D点）．
由 $\text{[math]}$
解得交点为C（1，2），B（0，1）；
故符合题意的点P为（0，1）．
抛物线y=ax²+bx+c不经过直线x=-2上除D外的其他点．
由 $\text{[math]}$
解得交点P为（-2，5）．
抛物线y=ax²+bx+c不经过直线x=1上除C外的其他点，
而 $\text{[math]}$ 解得交点为C（1，2）．
故符合条件的点P为（0，1）或（-2，5）．
（说明：1．仅由图形看出一个点的坐标给，二个看出来给．2，解题过程叙述基本清楚即可．）
分析：（1）可设C点的坐标为（x₁，x₂），那么矩形的面积应该是x₁y₁=t；可用C点坐标表示出以AC为斜边、∠CAO为内角的直角三角形的面积，联立两式即可求出C点坐标及t的值；
（2）将顶点B以及点C的坐标代入抛物线y=mx²+nx+k中，即可求出待定系数的值；
（3）在（1）（2）中已经求得了双曲线及直线的解析式，联立两式即可求出点C、D的坐标，将点D的坐标代入抛物线y=ax²+bx+c中，可求出a、c以及a、b的关系式，可用a替换掉b、c，然后根据抛物线y=mx²+nx+k的解析式来设P点的坐标，若P点不在抛物线y=ax²+bx+c上，那么将P点坐标代入上面的解析式后左右两边不相等，可据此来求P点的坐标．
点评：此题是一次函数、二次函数的综合题，主要考查了函数解析式的确定、图形面积的求法、函数图象交点等知识，综合性强，难度很大．