Question

如图，直线y=hx+d与x轴和y轴分别相交于点A（-1，0），B（0，1），与双曲线y=

t

x

在第一象限相交于点C；以AC为斜边、∠CAO为内角的直角三角形，与以CO为对角线、一边在x轴上的矩形面积相等；点C，P在以B为顶点的抛物线y=mx²+nx+k上；直线y=hx+d、双曲线y=

t

x

和抛物线y=ax²+bx+c同时经过两个不同的点C，D．
（1）确定t的值；
（2）确定m，n，k的值；
（3）若无论a，b，c取何值，抛物线y=ax²+bx+c都不经过点P，请确定P的坐标．

Answer 1

分析：（1）可设C点的坐标为（x₁，x₂），那么矩形的面积应该是x₁y₁=t；可用C点坐标表示出以AC为斜边、∠CAO为内角的直角三角形的面积，联立两式即可求出C点坐标及t的值；
（2）将顶点B以及点C的坐标代入抛物线y=mx²+nx+k中，即可求出待定系数的值；
（3）在（1）（2）中已经求得了双曲线及直线的解析式，联立两式即可求出点C、D的坐标，将点D的坐标代入抛物线y=ax²+bx+c中，可求出a、c以及a、b的关系式，可用a替换掉b、c，然后根据抛物线y=mx²+nx+k的解析式来设P点的坐标，若P点不在抛物线y=ax²+bx+c上，那么将P点坐标代入上面的解析式后左右两边不相等，可据此来求P点的坐标．

解答：解：（1）直线过点A，B，则0=-h+d和1=d，即y=x+1． （1分）
双曲线y=

t

x

经过点C（x₁，y₁），x₁y₁=t．
以AC为斜边，∠CAO为内角的直角三角形的面积为

1

2

×y₁×（1+x₁）；
以CO为对角线的矩形面积为x₁y₁．

1

2

×y₁×（1+x₁）=x₁y₁，
因为x₁，y₁都不等于0，
故得x₁=1，
所以y₁=2．
故有，2=

t

1

，
故t=2×1=2，即t=2． （2分）

（2）∵B是抛物线y=mx²+nx+k的顶点，
∴有-

n

2m

=0，-

n2-4mk

4m

=1，
得到n=0，k=1． （3分）
∵C是抛物线y=mx²+nx+k上的点，
∴有2=m×1²+1，得m=1． （4分）
故m=1，n=0，k=1．

（3）设点P的横坐标为p，则纵坐标为p²+1．
∵抛物线y=ax²+bx+c经过两个不同的点C，D，
其中求得D点坐标为（-2，-1）． （5分）
解法一：
故2=a+b+c，
-1=4a-2b+c．
解之得，b=a+1，c=1-2a． （6分）
（说明：如用b表示a，c，或用c表示a，b，均可，后续参照得分）
∴y=ax²+（a+1）x+（1-2a）
于是：p²+1≠ap²+（a+1）p+（1-2a） （7分）
变形，得p²-p≠（p²+p-2）a，
∴无论a取什么值都有p²-p≠（p²+p-2）a． （8分）
（或者，令p²-p=（p²+p-2）a （7分）
∵抛物线y=ax²+bx+c不经过P点，
∴此方程无解，或有解但不合题意（8分）
故∵a≠0，
∴①

p2-p=0 p2+p-2≠0

解之p=0，p=1，并且p≠1，p≠-2．得p=0 （9分）
∴符合题意的P点为（0，1）（10分）
②

p2-p≠0 p2+p-2=0

，
解之p=1，p=-2，并且p≠0，p≠1．
得p=-2． （11分）
符合题意的P点为（-2，5）． （12分）
∴符合题意的P点有两个（0，1）和（-2，5）．
解法二：则有（a-1）p²+（a+1）p-2a=0 （7分）
即〔（a-1）p+2a〕（p-1）=0
有p-1=0时，得p=1，
即C点（1，2）在y=ax²+bx+c上． （8分）
或（a-1）p+2a=0，即（p+2）a=p
当p=0时a=0与a≠0矛盾（9分）
得点P（0，1）（10分）
或者p=-2时，无解（11分）
得点P（-2，5）（12分）
故对任意a，b，c，抛物线y=ax²+bx+c都不经过（0，1）和（-2，5）
解法三：如图，抛物线y=ax²+bx+c不经过直线CD上除C，D外的其他点；
（只经过直线CD上的C，D点）． （6分）
由

y=x2+1 y=x+1

（7分）
解得交点为C（1，2），B（0，1）；
故符合题意的点P为（0，1）． （8分）
抛物线y=ax²+bx+c不经过直线x=-2上除D外的其他点． （9分）
由

y=x2+1 x=-2

（10分）
解得交点P为（-2，5）．（11分）
抛物线y=ax²+bx+c不经过直线x=1上除C外的其他点，
而

y=x2+1 x=1

解得交点为C（1，2）． （12分）
故符合条件的点P为（0，1）或（-2，5）．
（说明：1．仅由图形看出一个点的坐标给（1分），二个看出来给（2分）．2，解题过程叙述基本清楚即可．）

点评：此题是一次函数、二次函数的综合题，主要考查了函数解析式的确定、图形面积的求法、函数图象交点等知识，综合性强，难度很大．