Question

正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM⊥MN，设MB=x
（1）证明：△ABM∽△MCN；
（2）若四边形ABCN的面积等于9，求x的值；
（3）当M点运动到什么位置时，以A、B、M为顶点的三角形和以A、M、N为顶点的三角形相似．

Answer 1

分析：（1）由于AM⊥MN，那么∠AMB+∠NMC=90°，而四边形ABCD是正方形，于是∠B=∠C=90°，从而有∠BAM+∠AMB=90°，利用同角的余角相等可得∠NMC=∠MAB，进而可证△ABM∽△MCN；
（2）由于△ABM∽△MCN，那么AB：BM=CM：CN，可求CN，结合四边形ABCN的面积等于9，可得关于x的方程，解即可；
（3）根据题意可得△ABM∽△AMN，于是AB：BM=AM：MN，把AB、BM、AM、MN的值代入，可得关于x的方程，解即可．

解答：（1）证明：如右图所示，
∵AM⊥MN，
∴∠AMB+∠NMC=90°，
又∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，
∴∠BAM+∠AMB=90°，
∴∠NMC=∠MAB，
∴△ABM∽△MCN；

解：（2）∵△ABM∽△MCN，
∴AB：BM=CM：CN，
∴CN=

x(4-x)

4

，
∴S_{四边形ABCN}=

1

2

×（4+

x(4-x)

4

）×4=9，
解得x₁=2+

2

，x₂=2-

2

，
故x=2+

2

或x=2-

2

；

（3）∵△ABM∽△AMN，
∴AB：BM=AM：MN，又MB=x，
AM=

42+x2

，
MN=

MC2+NC2

=

(4-x)2+[ x(4-x) 4 ]2

42+x2

：

(4-x)2+[ x(4-x) 4 ]2

=

4

4-X

，
∴4：（4-x）=

42+x2

：

(4-x)2+[ x(4-x) 4 ]2

，
4

(4-x)2+[ x(4-x) 4 ]2

=x

42+x2

，
16[（4-x）²+

x2(4-x)2

16

]=x²（16+x²），
（4-x）²（16+x²）=x²（16+x²），
16-8x=0，
解得x=2．

点评：本题考查了正方形的性质、等角的余角相等、相似三角形的判定和性质、解方程的知识．