题目内容
正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直．（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；
（2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大面积；
（3）当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，求此时x的值．
分析：（1）要证三角形ABM和MCN相似，就需找出两组对应相等的角，已知了这两个三角形中一组对应角为直角，而∠BAM和∠NMC都是∠AMB的余角，因此这两个角也相等，据此可得出两三角形相似．
（2）根据（1）的相似三角形，可得出AB，BM，MC，NC的比例关系式，已知了AB=4，BM=x，可用BC和BM的长表示出CM，然后根据比例关系式求出CN的表达式．这样直角梯形的上下底和高都已得出，可根据梯形的面积公式得出关于y，x的函数关系式．然后可根据函数的性质得出y的最大值即四边形ABCN的面积的最大值，以及此时对应的x的值，也就可得出BM的长．
（3）已知了这两个三角形中相等的对应角是∠ABM和∠AMN，如果要想使Rt△ABM∽Rt△AMN，那么两组直角边就应该对应成比例，即
=
，根据（1）的相似三角形可得出
=
，因此BM=MC，M是BC的中点．即x=2．
（2）根据（1）的相似三角形，可得出AB，BM，MC，NC的比例关系式，已知了AB=4，BM=x，可用BC和BM的长表示出CM，然后根据比例关系式求出CN的表达式．这样直角梯形的上下底和高都已得出，可根据梯形的面积公式得出关于y，x的函数关系式．然后可根据函数的性质得出y的最大值即四边形ABCN的面积的最大值，以及此时对应的x的值，也就可得出BM的长．
（3）已知了这两个三角形中相等的对应角是∠ABM和∠AMN，如果要想使Rt△ABM∽Rt△AMN，那么两组直角边就应该对应成比例，即
| AM |
| MN |
| AB |
| BM |
| AM |
| MN |
| AB |
| MC |
解答：（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC=CD=4，∠B=∠C=90°，
∵AM⊥MN，
∴∠AMN=90°，
∴∠CMN+∠AMB=90°．
在Rt△ABM中，∠MAB+∠AMB=90°，
∴∠CMN=∠MAB，
∴Rt△ABM∽Rt△MCN．
（2）解：∵Rt△ABM∽Rt△MCN，
∴
=
，即
=
，
∴CN=
，
∴y=S梯形ABCN=
（
+4）•4
=-
x2+2x+8
=-
（x-2）2+10，
∴当点M运动到离B点的长度为2时，y取最大值，最大值为10．
（3）解：∵∠B=∠AMN=90°，
∴要使△ABM∽△AMN，必须有
=
，
由（1）知
=
，
∴
=
，
∴BM=MC，
∴当点M运动到BC的中点时，△ABM∽△AMN，此时x=2．
∵AM⊥MN，
∴∠AMN=90°，
∴∠CMN+∠AMB=90°．
在Rt△ABM中，∠MAB+∠AMB=90°，
∴∠CMN=∠MAB，
∴Rt△ABM∽Rt△MCN．
（2）解：∵Rt△ABM∽Rt△MCN，
∴
| AB |
| MC |
| BM |
| CN |
| 4 |
| 4-x |
| x |
| CN |
∴CN=
| -x2+4x |
| 4 |
∴y=S梯形ABCN=
| 1 |
| 2 |
| -x2+4x |
| 4 |
=-
| 1 |
| 2 |
=-
| 1 |
| 2 |
∴当点M运动到离B点的长度为2时，y取最大值，最大值为10．
（3）解：∵∠B=∠AMN=90°，
∴要使△ABM∽△AMN，必须有
| AB |
| AM |
| BM |
| MN |
由（1）知
| AM |
| MN |
| AB |
| MC |
∴
| AB |
| BM |
| AB |
| MC |
∴BM=MC，
∴当点M运动到BC的中点时，△ABM∽△AMN，此时x=2．
点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质以及二次函数的综合应用，根据相似三角形得出与所求的条件相关的线段成比例是解题的关键．
练习册系列答案
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如图，正方形ABCD边长为2cm，以点B为圆心，AB的长为半径作弧 |
| AC |
| A、（4-π）cm2 |
| B、（8-π）cm2 |
| C、（2π-4）cm2 |
| D、（π-2）cm2 |
如图所示，正方形ABCD边长为2，点E在CB的延长线上，BD=BE，则tan∠BAE的值为
s的速度运动，同时动点Q在线段FC上从F?C以1cm/s的速度运动，动点G在PC上，且∠EGC=∠EQC，连接PD．设运动时间为t秒．
正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，