Question

【题目】如图，AB是⊙O直径，CD为⊙O的切线，C为切点，过A作CD的垂线，垂足为D．

（1）求证：AC平分∠BAD；

（2）若⊙O半径为5，CD＝4，求AD的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）8；

【解析】

（1）连接OC，则OC⊥CD，因为CD⊥AD从而OC∥AD，利用平行线的性质及等边对等角，等量代换即可得到∠DAC＝∠CAO，从而可知AC平分∠BAD

（2）过点O作OE⊥AD于点E，利用勾股定理求出AE，再利用即可求解.

（1）证明：如图1，连接OC，

∵直线CD切半圆O于点C，

∴OC⊥CD，

∵CD⊥AD，

∴OC∥AD，

∴∠DAC＝∠ACO，

∵OA＝OC，

∴∠ACO＝∠CAO，

∴∠DAC＝∠CAO，

∴AC平分∠BAD；

（2）如图2，过点O作OE⊥AD于点E，

∵∠OCD＝∠OED＝∠CDE＝90°，

∴四边形OEDC是矩形，

∴DC＝OE＝4，