Question

1．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是AC边上一动点，CE⊥BD于E．

（1）如图（1），若BD平分∠ABC时，
①求∠ECD的度数；
②延长CE交BA的延长线于点F，补全图形，探究BD与EC的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图（2），过点A作AF⊥BE于点F，猜想线段BE，CE，AF之间的数量关系，并证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）①根据等腰直角三角形的性质得出∠CBA=45°，再利用角平分线的定义解答即可；②延长CE交BA的延长线于点G得出CE=GE，再利用AAS证明△ABD≌△ACG，利用全等三角形的性质解答即可；
（2）过点A作AH⊥AE，交BE于点H，证明△ABH≌△ACE，进而得出CE=BH，利用等腰直角三角形的判定和性质解答即可．

解答 解：（1）①∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠CBA=45°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBA=22.5°，
∵CE⊥BD，
∴∠ECD+∠CDE=90°，∠DBA+∠BDA=90°，
∵∠CDE=∠BDA，
∴∠ECD=∠DBA=22.5°；

②BD=2CE．
证明：延长CE交BA的延长线于点F，如图1，
∵BD平分∠ABC，CE⊥BD，
∴CE=FE，
在△ABD与△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBA=∠ACF}\\{∠BAC=∠CAF}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACF（AAS），
∴BD=CF=2CE；

（2）结论：BE-CE=2AF．
证明：过点A作AH⊥AE，交BE于点H，如图2，
∵AH⊥AE，
∴∠BAH+∠HAC=∠HAC+∠CAE，
∴∠BAH=∠CAE，
在△ABH与△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HBA=∠ECA}\\{AB=AC}\\{∠BAH=∠ACE}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△ACE（ASA），
∴CE=BH，AH=AE，
∴△AEH是等腰直角三角形，
∴AF=EF=HF，
∴BE-CE=2AF．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查的是等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定和性质的综合应用，作辅助线构造出与所求和已知相关的全等三角形，是解答本题的关键．