题目内容

已知二次函数y=ax²+bx-2的图象经过点A（1，0）及B（-2，0）两点．
（1）求二次函数的表达式及抛物线顶点M的坐标；
（2）若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q，当点N在线段BM上运动时（点N不与点B、点M重合），设NQ的长为t，四边形NQAC的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出四边形NQAC的面积的最大值；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAC为直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标．

解：（1）∵二次函数y=ax²+bx-2的图象经过点A（1，0）及B（-2，0）两点．
∴设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x+2），将C（0，-2）坐标代入，-2=a（0-1）（0+2），
解得：a=1，
故y=x²+x-2=（x+ $\text{[math]}$ ）²- $\text{[math]}$ ；则其顶点M的坐标是（ $\text{[math]}$ ）．

（2）设线段BM所在直线的解析式为y=kx+b，
∴ $\text{[math]}$ ．
解得： $\text{[math]}$ ，
∴线段BM所在的直线的解析式为y=- $\text{[math]}$ x-3．
∵-t=- $\text{[math]}$ x-3，∴ $\text{[math]}$ ，点N的坐标为N（ $\text{[math]}$ ，-t），
∴S=S_△AOC+S_梯形OCNQ= $\text{[math]}$ ×1×2+ $\text{[math]}$ （2+t）•| $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$ ．
∴S与t间的函数关系式为S= $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ （t²-t）+3=- $\text{[math]}$ （t- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ ，
故 $\text{[math]}$ 时，S的最大值为 $\text{[math]}$ ．

（3）存在符合条件的点P，
设点P的坐标为P $\text{[math]}$ ，如图，连接PA、PC，作CE⊥MP于E．

则AC²=1²+2²=5； $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ．
分以下几种情况讨论：
①若∠APC=90°，则PC²+PA²=AC²，
即 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =5，
解得： $\text{[math]}$ ，
②若∠ACP=90°，则PC²+AC²=PA²，
即 $\text{[math]}$ +5= $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ．
③若∠PAC=90°，则AC²+PA²=PC²， $\text{[math]}$ +5= $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ．
综上所述，存在满足条件的点P，其坐标分别是： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用交点式得出抛物线的解析式为y=a（x-1）（x+2），将C（0，-2）坐标代入求出a的值即可；
（2）利用待定系数法求出线段BM所在的直线的解析式，再利用S=S_△AOC+S_梯形OCNQ求出S与t间的函数关系式即可求出最值；
（3）利用①若∠APC=90°，则PC²+PA²=AC²，②若∠ACP=90°，则PC²+AC²=PA²，③若∠PAC=90°，则AC²+PA²=PC²，分别求出m的值即可得出P点坐标．
点评：本题考查了二次函数综合题以及勾股定理的应用等知识，注意△PAC为直角三角形时，需要分三种情况进行讨论，以防漏解．