Question

已知如图，矩形OABC的长OA=2，宽OC=2，将△AOC沿AC翻折得△AFC．
（1）求点F的坐标；
（2）求过A、F、C三点的抛物线解析式；
（3）在抛物线上是否存在一点P，使得△ACP为以A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）过F作FG⊥y轴于G．
在Rt△OCA中，∵∠AOC=90°，OA=2，OC=2，
∴tan∠OCA==，
∴∠OCA=60°．
∵将△AOC沿AC翻折得△AFC，
∴CF=OC=2，∠ACF=∠OCA=60°，
∴∠FCG=180°-∠ACF-∠OCA=60°，
∴在Rt△CFG中，∠CFG=30°，
∴CG=CF=1，GF==，
∴F（，-3）；

（2）由题知，A（2，0）、C（0，-2）、F（，-3），
令抛物线解析式为y=ax²+bx+c，
把点A、C、F的坐标代入抛物线的解析式中，
得，
解得，
∴过A、F、C三点的抛物线解析式为y=x²-x-2；                                      8′

（3）在抛物线上存在一点P，能够使得△ACP为以A为直角顶点的直角三角形．理由如下：
如图，过点P作PH⊥x轴于点P．
在Rt△OCA中，∠1=90°-∠OCA=30°，
∵∠PAC=90°，
∴∠2=90°-∠1=60°．
在Rt△PAH中，tan∠2==，
∴PH=AH．
设P（m，m²-m-2）（m＜0），
∴m²-m-2=（-m+2），
解之，m=-2，
∴在抛物线上存在一点P（-2，12），能够使得△ACP为以A为直角顶点的直角三角形．
分析：（1）过F作FG⊥y轴于G，先在Rt△OCA中，根据正切函数的定义得出tan∠OCA==，则∠OCA=60°，再由轴对称的性质得出CF=OC=2，∠ACF=∠OCA=60°，则∠FCG=60°，然后解Rt△CFG，求出CG=1，GF=，进而得到点F的坐标；
（2）把点A、C、F的坐标代入所设的抛物线解析式y=ax²+bx+c，运用待定系数法即可求解；                                      8′
（3）根据抛物线的形状可知，如果△ACP为以A为直角顶点的直角三角形时，P点只能在第二象限，画出图形．过点P作PH⊥x轴于点P，先由∠1=90°-∠OCA=30°，∠PAC=90°，得出∠2=60°，
然后在Rt△PAH中，根据tan∠2==，得出PH=AH，设P（m，m²-m-2）（m＜0），得到关于m的方程，解方程求出m=-2，进而求出点P的坐标为（-2，12）．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求二次函数的解析式，三角函数的定义，特殊角的三角函数值，轴对称的性质，解直角三角形，综合性较强，有一定难度．