题目内容

如图，在平面直角坐标系中，有点A（1，6）、点B （6，1）、点C（1，1）三点．
（1）若点A在函数y=
m
x
（x＞0）的图象上．
①求m的值及直线AB的解析式；
②求三角形OAB的面积；
③在y轴是否存在一点P使△OCP为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
④如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的坐标．
（2）若函数y=
m
x
（x＞0）的图象与△ABC有公共点，求m的取值范围．
分析：（1）①把点A （1，6）代入函数y=
m
x
（x＞0）求出m的值；设直线AB解析式为y=kx+b，将A与B代入求出k与b的值，即可确定出直线AB的解析式；
②连接OA，OB，三角形AOB面积=三角形AOD面积+梯形ADEB面积-三角形OBE面积，求出即可；
③如图所示，分四种情况考虑：当OP1=P1C=1时，△OP1C为等腰三角形；当CP2=OC=
2
时，△OP2C为等腰三角形；当OP3=OC=
2
时，△OP3C为等腰三角形；当OP4=OC=
2
时，△OP4C为等腰三角形，分别求出对应P的坐标即可；
④由图象找出满足题意的格点坐标即可；
（2）抓住两个关键点，一是反比例函数图象过AB中点时，一是反比例函数图象过C点时，分别求出对应m的值，即可确定出满足题意m的范围．
解答：解：（1）①将A（1，6）代入反比例解析式得：6=
m
1
，即m=6；
设直线AB解析式为y=kx+b，
将A（1，6），B（6，1）代入得：
k+b=6
6k+b=1
，
解得：
k=-1
b=7
，
则直线AB的解析式为y=-x+7；
②连接OA，OB，由题意得：AD=OE=6，OD=BE=1，DE=OE-OD=5，
则S△OAB=S△AOD+S梯形ADEB-S△BEO
=
1
2
×1×6+
1
2
×5×（1+6）-
1
2
×1×6
=
35
2
；
③如图所示，
当OP1=P1C=1时，△OP1C为等腰三角形，此时P1（0，1）；
当CP2=OC=
2
时，△OP2C为等腰三角形，此时P2（0，2）；
当OP3=OC=
2
时，△OP3C为等腰三角形，此时P3（0，
2
）；
当OP4=OC=
2
时，△OP4C为等腰三角形，此时P4（0，-
2
）；
综上，P的坐标为（0，1）或（0，2）或（0，
2
）或（0，-
2
）；
④根据图形得：格点坐标（2，4），（3，3），（4，2）；
（2）当双曲线经过点C（1，1）时，m=1；
当双曲线经过AB中点（
7
2
，
7
2
）时，m=
49
4
，
则函数y=
m
x
（x＞0）的图象与△ABC有公共点时m的取值范围是1≤m≤
49
4
．
点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，等腰三角形的性质，反比例函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，利用了分类讨论及数形结合的思想，是一道中档题．
练习册系列答案
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（2）当∠CPD=∠OAB，且
BD
AB
=
5
8
，求这时点P的坐标．
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5
29
5
29
．
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5
5
．
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k
x
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k
x
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