Question

如图，直线与轴、轴分别相交于点C、D，一个含30º角的直角三角板的30º角的顶点A在线段CD上滑动，滑动过程中三角板的斜边始终经过坐标原点，∠A的另一边与轴的正半轴相交于点B。

试探索△AOB能否为等腰三角形。若能，请求出点B的坐标；若不能，请说明理由。

Answer 1

解：由直线，　　

易知C（，0），D（0，1），OD=1，OC=，DC=2，∠DCO=30º，∠CDO=60º，

若△AOB为等腰三角形，则有如下三种情况：

①OA=OB，则∠OBA=∠OAB=30º，因此 AOB=120º＞∠DOC，不合题意。

②BA=BO，则∠BOA=BAO=30º，∠ABC=60º，因此∠DOA=60º=∠CDO=∠DAO，

∴OD=OA=AD=1，即△DOA为等边三角形。

作AE⊥OC于E，则∠BAE=30º，AE=OE cos∠AOE=，

∴BE=AE tan∠BAE=，即B（，0）。

③AO=AB，作AF⊥OC于F，则OB=2OF，

∵∠OAB=∠OCA=30º，∠AOB=∠COA，∴△OAB∽△OCA

∴，即OA²=OB?OC。

设，则，

解方程得（舍正），

∴，即B（，0）。