Question

【题目】如图，是的直径，点在上，的平分线交于点，交于点．过点作的切线交的延长线于点，连接，．

（1）求证：，；

（2）过点分别作直线，垂线，垂足为，．若，，请你完成示意图并求线段的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）画图见解析，7

【解析】

（1）图1中，连接，由AB是直径可得，由角平分线的定义可求∠ECA=45°，然后根据圆周角定理可求；由OC=OE可证，然后利用余角的性质证明可证；

（2）如图2中．作EH⊥BC于H，EF⊥CA于F．首先证明Rt△AEF≌Rt△BEH，推出AF=BH，设AF=BH=x，再证明四边形CFEH是正方形，推出CF=CH，可得6+x=8-x，推出x=1即可解决问题；

（1）证明：①如图1中，连接，

∵直径，

∴，

∴平分，

∴，

∴，

∴，

∴．

∵是切线，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，，，

∴，

∴．

（2）如图2中，连接，过点作于，于．

又∵平分，

∴，，

由（1）得，

∴，

∴，

∴，设，

∵，

∴四边形是矩形，

∵，

∴四边形是正方形，

∵，

∴，

∴，

∴．