Question

如图，直线AB交x轴于点A（2，0），交抛物线y=ax²于点B（1，），点C到△OAB各顶点的距离相等，直线AC交y轴于点D．
（1）填空：a=______，△OAB是______三角形．
（2）连接BC与BD，求四边形OCBD的面积；
（3）当x＞0时，在直线OC和抛物线y=ax²上是否分别存在点P和点Q，使四边形DOPQ为特殊的梯形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）把点B的坐标代入抛物线有：a=．
OA=2，OB==2，AB==2，
∴OA=OB=AB，
所以△OAB是等边三角形．
故答案是：a=．△OAB是等边三角形；

（2）∵点C到△OAB各个顶点的距离相等，
∴点C是△OAB的外心，
∴C（1，）
∵B（1，），
∴BC=．
在直角△OAD中，OA=2，∠OAD=30°，
∴OD=．
所以四边形OCBD是平行四边形．
S_OCBD=OD×1=．
因此OCBD的面积为；

（3）当点P（，），点Q（，）时，DOPQ是等腰梯形．
当点P（，），点Q（，）时，DOPQ是直角梯形．
∴，P₂（，）．
分析：（1）把点B的坐标代入抛物线可以求出a的值．（2）利用两点间距离公式求出线段OA，OB以及AB的长，判断△OAB的形状．（2）结合图形求出点C，D的坐标，判断四边形OCBD是平行四边形，然后求出平行四边形的面积．
（3）从等腰梯形，直角梯形和平行四边形等几种情况直接写出点P的坐标．
点评：本题考查的是抛物线的综合题，（1）把点的坐标代入抛物线，求出字母系数a的值，求三角形三边的长确定三角形的形状．（2）根据点C是三角形的外心，判断四边形OCBD是平行四边形，然后求出平行四边形的面积．（3）根据特殊梯形写出点P的坐标．