Question

（a）请你在平面上画出6条直线（没有三条共点），使得它们中的每条直线都恰与另三条直线相交，并简单说明画法．
（b）能否在平面上画出7条直线（任意三条都不共点），使得它们中的每条直线都恰与另三条直线相交？如果能请画出一例，如果不能请简述理由．

Answer 1

分析：（a）分别画出两组平行线，使它们相交即可；
（b）假设可以得到，那么7条直线的交点总个数为21，根据2条直线交于一点可得实际交点个数为小数，所以与结论不符．

解答：解：（a）在平面上画三条平行的直线m₁，m₂，m₃，再画另三条平行的直线n₁，n₂，n₃，
使它们与前一组平行线相交．
（b）在平面上不能画出没有三线共点的七条直线，使得其中每条直线都恰与另外三条直线相交．
理由如下：假设平面上可以画出没有三线共点的七条直线，
其中每一条直线都恰与另外三条相交，两直线相交只有一个交点，
∴每条直线上恰有另三条直线交得的三个不同的交点，
∴七条直线共3×7=21个交点，
∵每个交点分属于两条直线，重复计数一次，
∴这七条直线交点数为

21

2

=10.5个，这与交点个数为整数矛盾．所以满足题设条件的七条直线是画不出来的．

点评：考查图形交点个数的计算；充分利用平行线的特点得到相应规律是解决本题的关键．