Question

【题目】（题型一）请你参与下面的探究过程，完成所提出的问题.

（1）探究1：如图11-3-3（1），P是△ ABC的内角∠ABC与∠ACB的平分线BP和CP的交点，若∠A=70°，求∠BPC度数.

（2）探究2：如图11-3-3（2），P是△ABC的外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BP和CP的交点，求∠BPC与∠A的数量关系，并说明理由．边形ABCD的外角∠EBC与∠BCF的平分线BP和CP的交点，设∠A+∠D=α.

①直接写出∠BPC与α的数量关系；

②根据α值的情况，判断△BPC的形状.（按角分类）

（1） （2） （3）

Answer 1

【答案】（1）∠BPC=125°；

（2）∠BPC=90°-∠A.理由见解析；

（3）当0°<α<180°时，△BPC是钝角三角形;当α=180°时，△BPC是直角三角形;当α>180°时，△BPC是锐角三角形.

【解析】试题分析：（1）先根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，再根据角平分线的性质求出∠PBC+∠BCP的度数，由三角形内角和定理即可求出答案；

（2）根据角平分线的定义可得∠PCE=∠BCE，∠PBD=∠CBD，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解；

（3）①根据四边形的内角和定理表示出∠BAD+∠CDA，然后同理（2）解答即可；②根据α的值的情况，得到∠P的取值范围，即可得到结论．

试题解析：（1）∵∠A=70°，

∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°.

∵BP，CP分别是∠ABC，∠ACB的平分线，

∴∠ABC=2∠PBC，∠ACB=2∠BCP，

∴∠PBC+∠BCP=1/2（∠ABC+∠ACB）=55°.

∵∠PBC+∠BCP+∠BPC=180°，

∴∠BPC=125°.

（2）∠BPC=90°-∠A.

理由：∵BP，CP分别是外角∠DBC，∠ECB的平分线，

∴∠PBC+∠PCB=（∠DBC+∠ECB）=（180°+∠A）.

在△PBC中，∠BPC=180°-（180°+∠A）=90°-∠A.

（3）如图，

①延长BA，CD交于点Q，

由（2）可知，∠BPC=90°-∠Q，

∴∠Q=180°-2∠BPC，

∴∠BAD+∠CDA=180°+∠Q=180°+180°-2∠BPC=360°-2∠BPC.

∴∠BPC=180°-α.

②当0°<α<180°时，△BPC是钝角三角形;

当α=180°时，△BPC是直角三角形;

当α>180°时，△BPC是锐角三角形.