Question

在平面直角坐标系中，正方形A₁B₁C₁D₁、D₁E₁E₂B₂、A₂B₂C₂D₂、D₂E₃E₄B₃、A₃B₃C₃D₃…按如图所示的方式放置，其中点B₁在y轴上，点C₁、E₁、E₂、C₂、E₃、E₄、C₃…在x轴上，已知正方形A₁B₁C₁D₁的边长为1，∠B₁C₁O=60°，B₁C₁∥B₂C₂∥B₃C₃…则正方形A₂₀₁₅B₂₀₁₅C₂₀₁₅D₂₀₁₅的边长是（　　）

A．（）²⁰¹⁴ B．（）²⁰¹⁵ C．（）²⁰¹⁵     D．（）²⁰¹⁴

　

Answer 1

D【考点】正方形的性质．

【专题】压轴题；规律型．

【分析】利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案．

【解答】方法一：

解：如图所示：∵正方形A₁B₁C₁D₁的边长为1，∠B₁C₁O=60°，B₁C₁∥B₂C₂∥B₃C₃…

∴D₁E₁=B₂E₂，D₂E₃=B₃E₄，∠D₁C₁E₁=∠C₂B₂E₂=∠C₃B₃E₄=30°，

∴D₁E₁=C₁D₁sin30°=，则B₂C₂=（）¹，

同理可得：B₃C₃==（）²，

故正方形A_nB_nC_nD_n的边长是：（）^n﹣1．

则正方形A₂₀₁₅B₂₀₁₅C₂₀₁₅D₂₀₁₅的边长是：（）²⁰¹⁴．

故选：D．

 

方法二：

∵正方形A₁B₁C₁D₁的边长为1，

∠B₁C₁O=60°，

∴D₁E₁=B₂E₂=，

∵B₁C₁∥B₂C₂∥B₃C₃…

∴∠E₂B₂C₂=60°，

∴B₂C₂=，

同理：

B₃C₃=×=…

∴a₁=1，q=，

∴正方形A₂₀₁₅B₂₀₁₅C₂₀₁₅D₂₀₁₅的边长=1×．

【点评】此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数关系，得出正方形的边长变化规律是解题关键．