Question

如图，点O是等腰△ABC的外心，AD是圆O的切线，切点为A，过点C作CD≡∥AB，交AD于点D．连接AO并延长交BC于点M，连接AD，交过点C的直线于点P，且∠BCP=∠ACD．
（1）判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB=12，BC=8．求PC的长．

Answer 1

分析：（1）过C点作直径CE，连接EB，由CE为直径得∠E+∠BCE=90°，由AB∥DC得∠ACD=∠BAC，而∠BAC=∠E，∠BCP=∠ACD，所以∠E=∠BCP，于是∠BCP+∠BCE=90°，然后根据切线的判断得到结论；
（2）根据切线的性质得到OA⊥AD，而BC∥AD，则AM⊥BC，根据垂径定理有BM=CM=

1

2

BC=4，根据等腰三角形性质有AC=AB=12，在Rt△AMC中根据勾股定理计算出AM；
设⊙O的半径为r，则OC=r，OM=AM-r在Rt△OCM中，根据勾股定理计算出r，求出CE=2r，OM，利用中位线性质得BE=2OM，然后判断Rt△PCM∽Rt△CEB，根据相似比可计算出PC．

解答：解：（1）直线PC与圆O相切，理由为：
过C点作直径CE，连接EB，如图，
∵CE为直径，
∴∠EBC=90°，即∠E+∠BCE=90°，
∵AB∥DC，
∴∠ACD=∠BAC，
∵∠BAC=∠E，∠BCP=∠ACD．
∴∠E=∠BCP，
∴∠BCP+∠BCE=90°，即∠PCE=90°，
∴CE⊥PC，
∴PC与圆O相切；
（2）∵AD是⊙O的切线，切点为A，
∴OA⊥AD，
∵BC∥AD，
∴AM⊥BC，
∴BM=CM=

1

2

BC=4，
∴AC=AB=12，
在Rt△AMC中，AM=

AC2-CM2

=8

2

，
设圆O的半径为r，则OC=r，OM=AM-r=8

2

-r，
在Rt△OCM中，OM²+CM²=OC²，即4²+（8

2

-r）²=r²，
解得：r=

9 2

2

，
∴CE=2r=

18 2

2

=9

2

，OM=8

2

-

9 2

2

=

7 2

2

，
∴BE=2OM=7

2

，
∵∠E=∠MCP，
∴Rt△PCM∽Rt△CEB，
∴

PC

CE

=

CM

EB

，
即

PC

9 2

=

4

7 2

∴PC=

36

7

．

点评：本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线；圆的切线垂直于过切点的半径，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．