Question

在一次活动课中，老师请每位同学自己用纸板做一个如图所示的有盖的长方体的纸盒，长方体的长、宽、高分别为acm、b cm、c cm．小杨在展示自己做的纸盒时，告诉同学们说：“我做的纸盒的长、宽、高都是正整数，且经测量发现它们满足a（b-c）=3，bc=ab+ac-7”．请同学们算一算，做一个这样的纸盒需要多少平方厘米的纸板（接缝不算）？

Answer 1

分析：首先由a（b-c）=3，且a，b，c均为正整数，即可求得

a=1 b-c=3

或

a=3 b-c=1

，然后分别将它们代入bc=ab+ac-7，即可求得a，b，c的值，再由长方体的表面积为：2（ab+ac+bc），即可求得做一个这样的纸盒需要多少平方厘米的纸板．

解答：解：∵a（b-c）=3，且a，b，c均为正整数，
∴

a=1 b-c=3

或

a=3 b-c=1

，
即：

a=1 b=c+3

或

a=3 b=c+1

，
①当

a=1 b=c+3

时，把a=1，b=c+3分别代入bc=ab+ac-7中，得：
（c+3）c=c+3+c-7，
整理得：c²+c+4=0，此方程无实数根．
②当

a=3 b=c+1

时，把a=3，b=c+1分别代入bc=ab+ac-7中，得：（
c+1）c=3（c+1）+3c-7，
整理得：c²-5c+4=0，
解得c=1或c=4．
∴

a=3 b=2 c=1

或

a=3 b=5 c=4

，
故长方体的表面积为：
2（ab+ac+bc）=2×（3×2+3×1+2×1）=22（cm²）或2（ab+ac+bc）=2×（3×5+3×4+5×4）=94（cm²）．
∴做一个这样的纸盒需要22cm²或94cm²的纸板．

点评：此题考查了正整数的应用，一元二次方程的解法以及长方体的表面积的求解方法等知识．解此题的关键是注意分类讨论思想与方程思想的应用．