Question

如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=8，CD=6，BC=4，AB边上有一动点P（不与A、B重合），连接DP，作PQ⊥DP，使得PQ交射线BC于点E，设AP=x．
（1）求AD的长．
（2）当x为何值时，△APD是等腰三角形？
（3）求BE的长（用含x的代数式表示）；
（4）是否存在点P，使得PQ经过点C？若存在，求出相应的AP的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）过D点作DH⊥AB于H，则四边形DHBC为矩形，根据矩形的对边相等求出DH、BH的长，再求出AH的长，然后利用勾股定理列式进行计算即可得解；
（2）表示出PH，然后分①当AP=AD时，②当AD=PD时，根据等腰三角形三线合一的性质，AH=PH，列式进行计算即可得解；③当AP=PD时，表示出PH，然后在Rt△DPH中，根据勾股定理列式进行计算即可得解；
（3）根据同角的余角相等求出∠HDP=∠EPB，再根据两角对应相等，两三角形相似求出△DPH和△PEB相似，然后根据相似三角形对应边成比例列出比例式整理即可得解；
（4）根据PQ过点C时，BE=4，代入（3）的BE的表达式，再根据一元二次方程的解确定即可．

解答：解：（1）如图，过D点作DH⊥AB于H，则四边形DHBC为矩形，
∴DH=BC=4，HB=CD=6，
∴AH=AB=HB=8-6=2，
在Rt△ADH中，AD=

AH2+DH2

=

22+42

=2

5

；

（2）∵AP=x，
∴PH=x-2，
情况①：如图1，当AP=AD时，即x=2

5

；
情况②：如图2，当AD=PD时，则AH=PH．
∴2=x-2，
解得x=4；
情况③：如图3，当AP=PD时，PH=AP-AH=x-2，
则Rt△DPH中，PD²=DH²+PH²，
即x²=4²+（x-2）²，
解得x=5，
∵2＜x＜8，
∴当x为2

5

、4、5时，△APD是等腰三角形；

（3）∵∠DPE=∠DHP=90°，
∴∠DPH+∠EPB=∠DPH+∠HDP=90°，
∴∠HDP=∠EPB，
又∵∠DHP=∠B=90°，
∴△DPH∽△PEB，
∴

DH

PB

=

PH

BE

，
即

4

8-x

=

x-2

BE

，
整理得：BE=-

1

4

x²+

5

2

x-4；

（4）当PQ经过点C时，BE=BC=4，
∴-

1

4

x²+

5

2

x-4=4，
整理得，x²-10x+32=0，
∵△=b²-4ac=（-10）²-4×1×32=-28＜0，
∴方程无实数根．
∴不存在点P．

点评：本题考查了相似形综合题，主要考查了直角梯形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解的情况，综合性较强，难度较大，（2）要根据等腰三角形的腰长的不同分情况讨论．