Question

【题目】已知二次函数y＝﹣x2+2tx﹣t+1（是常数）．

（1）求此函数的顶点坐标．（用含t的代数式表示）

（2）当x≥2时，y随x的增大而减小，求t的取值范围．

（3）当0≤x≤1时，该函数有最大值4，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）顶点坐标为（t，t2﹣t+1）；（2）t≤2；（3）t＝﹣3或4．

【解析】

（1）把二次函数解析式化成顶点式即可得到答案；

（2）根据二次函数的性质，开口向下时，对称轴右边y随x的增大而减小即可得到答案；

（3）根据二次函数的性质，开口向下时，在顶点处取得最大值，分情况讨论即可得到答案；

（1）∵y＝﹣x2+2tx﹣t+1＝﹣（x﹣t）2+t2﹣t+1，

∴顶点坐标为（t，t2﹣t+1）；

（2）∵y＝﹣x2+2tx﹣t+1＝﹣（x﹣t）2+t2﹣t+1，

∴抛物线开口向下，在对称轴x＝t的右边y随x的增大而减小，

∴当x≥t时，y随x的增大而减小，

∵当x≥2时，y随x的增大而减小，

∴t≤2；

（3）∵当0≤x≤1时，该函数有最大值4，

∴①若t＜0，则当x＝0时，y＝﹣t+1＝4，

解得，t＝﹣3；

②若0≤t≤1，则t2﹣t+1＝4，

解得，t＝ （舍）；

③若t＞1，则当x＝1时，y＝﹣1+2t﹣t+1＝4，

解得，t＝4．

综上，t＝﹣3或4．