Question

【题目】如图，等腰三角形ABC内接于⊙O，CA＝CB，过点A作AE∥BC，交⊙O于点E，过点C作⊙O的切线交AE的延长线于点D，已知AB＝6，BE＝3．

（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；

（2）延长AO交DC的延长线于点F，求AF的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）由题意连接CO并延长交AB于H，如图1，利用切线的性质得OC⊥DC，再证明CO为AB的中垂线，则CO⊥AB，所以AB∥CD，然后根据平行四边形的判定方法得到结论；

（2）根据题意利用平行线的性质得到∠DAC＝∠BCA，则＝，所以＝，于是得到CB＝CA＝BE＝3，利用垂径定理得到AH＝3，则根据勾股定理可计算出CH＝9，设⊙O的半径为r，则OH＝9﹣r，在Rt△OAH中利用（9﹣r）2+32＝r2得r＝5，然后证明△AOH～△FOC，利用相似比求出OF，从而得到AF的长．

解：（1）证明：连接CO并延长交AB于H，如图1，

∵CD与⊙O相切于点C，

∴OC⊥DC，

∵OA＝OB，CA＝CB，

∴CO为AB的中垂线，

∴CO⊥AB，

∴AB∥CD，

∵AD∥BC，

∴四边形ABCD为平行四边形；

（2）解：如图2，

∵AD∥BC，

∴∠DAC＝∠BCA，

∴＝，

∵，即＝，

∴CB＝CA＝BE＝3，

∵CH⊥AB，

∴AH＝BH＝AB＝3，

在Rt△ACH中，CH＝＝9，

设⊙O的半径为r，则OH＝9﹣r，

在Rt△OAH中，（9﹣r）2+32＝r2，解得r＝5，

∴OH＝4，

∵AH∥CF，

∴△AOH～△FOC，

∴＝，即＝，

解得OF＝，

∴AF＝AO+OF＝5+＝．