Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的一边AB在x轴上，∠ABC=90°，点C（4，8）在第一象限内，AC与y轴交于点E，抛物线y=+bx+c经过A、B两点，与y轴交于点D（0，﹣6）．

（1）请直接写出抛物线的表达式；

（2）求ED的长；

（3）点P是x轴下方抛物线上一动点，设点P的横坐标为m，△PAC的面积为S，试求出S与m的函数关系式；

（4）若点M是x轴上一点（不与点A重合），抛物线上是否存在点N，使∠CAN=∠MAN．若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=；（2）；（3）S=﹣m2+m+26（﹣2＜m＜4）；（4）（，）；（，﹣）

【解析】

（1）先确定B（4，0），再利用待定系数法求出抛物线解析式为y=；

（2）先利用待定系数法求得直线AC的解析式为y=x+，则可确定E（0，），然后计算DE的长；

（3）如图1，作PQ∥y轴交AC于Q，设P（m，m2-m-6），则Q（m，m+），则PQ=-m2+m+，然后根据三角形面积公式，利用S=S△PAQ+S△PCQ计算即可；

（4）如图2，当点M在x的正半轴，AN交BC于F，作FH⊥AC于H，根据角平分线的性质得FH=FB，易得AH=AB=6，再利用∠ACB的余弦可求出CF=5，则F（4，3），接着求出直线AF的解析式为y=x+1，于是通过解方程组得N点坐标为（，）；当点M′在x的负半轴上时，AN′交y轴与G，先在证明∴Rt△OAG∽Rt△BFA，在利用相似比求出OG=4，所以G（0，-4），接下来利用待定系数法求出直线AG的解析式为y=-2x-4，然后解方程组得N′的坐标．

（1）∵BC⊥x轴，点C（4，8），

∴B（4，0），

把B（4，0），C（0，-6）代入y=x2+bx+c得

，解得，

∴抛物线解析式为y=x2-x-6；

（2）设直线AC的解析式为y=px+q，

把A（-2，0），C（4，8）代入得

，解得，

∴直线AC的解析式为y=x+，

当x=0时，y=x+=，则E（0，），

∴DE=+6=；

（3）如图1，作PQ∥y轴交AC于Q，

设P（m，m2-m-6），则Q（m，m+），

∴PQ=m+-（m2-m-6）=-m2+m+，

∴S=S△PAQ+S△PCQ=×6×PQ=-m2+m+26（-2＜m＜4）；

（4）如图2，当点M在x的正半轴，AN交BC于F，作FH⊥AC于H，则FH=FB，

易得AH=AB=6，

∵AC=，

∴CH=10-6=4，

∵cos∠ACB=，

∴CF==5，

∴F（4，3），

易得直线AF的解析式为y=x+1，

解方程组得或，

∴N点坐标为（，）；

当点M′在x的负半轴上时，AN′交y轴与G，

∵∠CAN′=∠M′AN′，

∴∠KAM′=∠CAK，

而∠CAN=∠MAN，

∴∠KAC+∠CAN=90°，

而∠MAN+∠AFB=90°，

∴∠KAC=∠AFB，

而∠KAM′=∠GAO，

∴∠GAO=∠AFB，

∴Rt△OAG∽Rt△BFA，

∴，即，解得OG=4，

∴G（0，-4），

易得直线AG的解析式为y=-2x-4，

解方程组得或，

∴N′的坐标为（，-）.

综上所述，满足条件的N点坐标为（，）, （，-）．