Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．
求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=﹣x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：设此抛物线的函数解析式为：

y=ax2+bx+c（a≠0），

将A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点代入函数解析式得：

解得 ，

所以此函数解析式为：y=

（2）解：∵M点的横坐标为m，且点M在这条抛物线上，

∴M点的坐标为：（m， ），

∴S=S△AOM+S△OBM﹣S△AOB

= ×4×（﹣ m2﹣m+4）+ ×4×（﹣m）﹣ ×4×4

=﹣m2﹣2m+8﹣2m﹣8

=﹣m2﹣4m，

=﹣（m+2）2+4，

∵﹣4＜m＜0，

当m=﹣2时，S有最大值为：S=﹣4+8=4．

答：m=﹣2时S有最大值S=4

（3）解：设P（x， x2+x﹣4）．

当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQ∥OB，且PQ=OB，

∴Q的横坐标等于P的横坐标，

又∵直线的解析式为y=﹣x，

则Q（x，﹣x）．

由PQ=OB，得|﹣x﹣（ x2+x﹣4）|=4，

解得x=0，﹣4，﹣2±2 ．

x=0不合题意，舍去．

如图，当BO为对角线时，知A与P应该重合，OP=4．四边形PBQO为平行四边形则BQ=OP=4，Q横坐标为4，代入y=﹣x得出Q为（4，﹣4）．

由此可得Q（﹣4，4）或（﹣2+2 ，2﹣2 ）或（﹣2﹣2 ，2+2 ）或（4，﹣4）．

【解析】（1）利用待定系数法，把ABC三点坐标代入解析式即可求出；（2）最值问题的基本解决策略就是函数思想，设出M的横坐标为m，作为自变量，△AMB的面积为S为函数，由已知得S=S△AOM+S△OBM﹣S△AOB，分别用m的代数式表示各三角形面积，构建出二次函数，运用配方法求出最大值；（3）可分类讨论：OB为边，根据平行四边形的性质知PQ∥OB，且PQ=OB，构建方程|﹣x﹣（ 1 2 x2+x﹣4）|=4；当BO为对角线时，A与P应该重合，OP=4．四边形PBQO为平行四边形，则BQ=OP=4，进而求出坐标.