Question

在边长为2的正方形ABCD内求一点P，使得PA+PB+PC之和为最小，并求这个最小值及此时PA、PB、PC的大小．

Answer 1

分析：顺时针旋转△BPC60°，可得△PBE为等边三角形，若PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上，求出AF的值即可．

解答：解：顺时针旋转△BPC60度，可得△PBE为等边三角形．
即得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上，
即如下图：可得最小PA+PB+PC=AF．
BM=BF•cos30°=BC•cos30°=

3

，
则AM=2+

3

，
∵AB=BF，∠ABF=150°
∴∠BAF=15°
既得AF=

AM

cos15°

=

2

+

6

．
即PA+PB+PC的最小值是

2

+

6

；
此时，PC=PA=

2 6

3

，PB=

2

+

6

-

4 6

3

=

2

-

6

3

．

点评：本题主要考查轴对称-路线最短问题，正弦定理与余弦定理．解答本题的关键是熟练掌握旋转的知识．