Question

如图，Rt△ABC中，∠CAB=90°，以AB为直径作⊙O交BC于D，PD是⊙O的切线．若AM为⊙O的弦，连接PM，若AB=AC=4，AM=2，试在⊙O上标出点M并求PM长．

Answer 1

分析：作∠AOM=60°，使OM交于M，则AM=2，即M为所求，连接PM，作MH⊥AC于H，连接OD，利用直角三角形的性质和圆的切线性质和切线长定理即可判定四边形PDOA为正方形，所以AP=AO=2，再利用勾股定理即可求出PM的值．

解答：解：∵AB=AC=4，以AB为直径作⊙O，
∴A0=OM=2，
∵∠AOM=60°，
∴△AOM为等边三角形，
∴AO=AM=2，
连接PM，作MH⊥AC于H，连接OD
∵PD是⊙O的切线，
∴∠PDO=90°，
∵∠CAB=90°，
∵AC是圆的切线，
∴PD=PA，
∵AO=DO，
∴四边形AODP是正方形，
∴AO=AP=2，
∵∠MAO=60°，
∴∠PAM=90°-60°=30°，
∴MH=

1

2

AM=1，
∴AH=

3

，
∴PH=2-

3

，
∴PM=

PH 2+HM 2

=

(2- 3 )2+12

=2

2- 3

．
如图，PH=2+

3

，
HM=1，
PM=

PH 2+HM 2

=

(2+ 3 )2+12

=2

2+ 3

．
故PM长为2

2- 3

或2

2+ 3

．

点评：本题综合考查了等边三角形的判定和等边三角形的性质、圆的切线的判定和性质、正方形的性质以及含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理的运用，题目的难度不小．