Question

如图，点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点，且BE＝BC，AB＝3，BC＝4，点P为直线EC上的一点，且PQ⊥BC于点Q，PR⊥BD于点R．

(1)如图1，当点P为线段EC中点时，易证：PR＋PQ＝(不需证明)．

(2)如图2，当点P为线段EC上的任意一点(不与点E、点C重合)时，其它条件不变，则(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

(3)如图3，当点P为线段EC延长线上的任意一点时，其它条件不变，则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．

Answer 1

答案：
解析：

解：(2)图2中结论PR＋PQ＝仍成立　2分 　　证明：连接BP，过C点作CK⊥BD于点K． 　　∵四边形ABCD为矩形 　　∴∠BCD＝90° 　　又∵CD＝AB＝3，BC＝4 　　∴BD＝＝＝5 　　∵S△BCD＝BC·CD＝BD·CK 　　∴3×4＝5CK 　　∴CK＝　1分 　　∵S△BCE＝BE·CK，S△BEP＝PR·BE，S△BCP＝PQ·BC且S△BCE＝S△BEP＋S△BCP 　　∴BE·CK＝PR·BE＋PQ·BC．　1分 　　又∵BE＝BC 　　∴CK＝PR＋PQ 　　∴CK＝PR＋PQ 　　又∵CK＝ 　　∴PR＋PQ＝．　2分 　　(除此方法外，只要证明方法准确、合理均可得分) 　　(3)图3中的结论是PR－PQ＝．　2分